第2章 1 平均变化率与瞬时变化率（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

　平均变化率与瞬时变化率 学业标准 素养目标 1．了解函数的平均变化率与在某一点的瞬时变化率的概念，理解平均变化率与瞬时变化率的关系．(难点) 2．会求函数的平均变化率和在某一点的瞬时变化率．(重点) 1．通过函数的平均变化率和在某一点的瞬时变化率概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助求平均变化率和瞬时变化率，提升直观想象等核心素养. [教材梳理] 导学1　平均变化率 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10. 　在0≤t≤0.5这段时间里，运动员的平均速度是多少？ [提示]　＝＝4.05(m/s)． 　在1≤t≤2这段时间里，运动员的平均速度是多少？ [提示]　＝＝－8.2(m/s)． ◎结论形成 函数的平均变化率 对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从__f(x1)变为f(x2)__，它在区间[x1，x2]的平均变化率＝　　. 通常我们把自变量的变化x2－x1称作自变量x的改变量，记作__Δx__，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值y的改变量，记作__Δy__.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝　　.用它来刻画函数值在区间__[x1，x2]__上变化的__快慢__． [拓展] 1．平均变化率的几何意义就是函数y＝f(x)图象上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)所在直线的斜率． 2．平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s＝s(t)，在时间段[t1，t2]上的平均速度，即＝. 导学2　瞬时变化率 　一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移，t表示时间．试求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度． [提示]　＝＝－6－3Δt. 　当Δt趋近于0时，问题1中的平均速度趋近于几？怎样理解这一速度？ [提示]　当Δt趋近于0时，趋近于－6，这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度． ◎结论形成 瞬时变化率 对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则该函数的平均变化率为＝＝ 　　. 如果当Δx趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率．瞬时变化率刻画的是函数在__某一点处变化的快慢__． [拓展]　 对瞬时变化率的几点说明 1．在＝中，Δx可正，可负，但不可为0，但Δy可以为0，此时f(x)为常数函数． 2．在＝中，当Δx趋向于0时，也趋于一个定值，与Δx无关． 3．瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢． 4．函数在x0处的瞬时变化率仅与x0有关，而与Δx无关． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果f(x)在[x1，x2]上的平均变化率等于0，说明函数从x1到x2没有变化．(　　) (2)在平均变化率中，函数值的改变量不能为零．(　　) (3)函数f(x)在[x1，x2]上的平均变化率就是函数y＝f(x)图象上两点P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))(x1≠x2)所在直线的斜率．(　　) (4)瞬时变化率刻画的是函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．设函数f(x)＝x2－1，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率是(　　) A．2.1　　　　　　　 B．0.21 C．1.21 D．12.1 解析　Δx＝1.1－1＝0.1， Δy＝1.12－1－(12－1)＝0.21. 所以函数的平均变化率为＝＝2.1. 故选A. 3．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品时，需要对原油进行冷却和加热．如果第x小时时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)，则第4小时时，原油温度的瞬时变化率为(　　) A．－1 B．1 C．3 D．5 解析　因为Δy＝f(4＋Δx)－f(4)＝(4＋Δx)2－7(4＋Δx)＋15－(42－7×4＋15)＝8Δx＋Δx2－7Δx＝Δx2＋Δx， 因为＝Δx＋1.当Δx趋于0时，趋于1. 因此，第4小时时，原油温度的瞬时变化率为1. 答案　B 4．某婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，则第二年该婴儿体重的平均变化率为_________ 千克/月． 解析　由图形知，所求平均变化率为＝0.25(千克/月)． 答案　0.25 题型一　求平均变化率(一题多变) 　已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快． [解析]　自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率