第1章 3.2 第2课时 等比数列习题课（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

第2课时　等比数列习题课 学业标准 素养目标 1．通过实例理解并掌握数列求和的常用方法．(重点) 2．能综合运用等比数列的知识解决一些实际问题．(难点) 1．通过数列求和培养数学运算等核心素养． 2．通过等比数列知识的实际应用，提升数学建模等核心素养. [教材梳理] 导学　错位相减法 　推导公比不为1的等比数列的前n项和公式的方法是什么？ [提示]　错位相减法． ◎结论形成 错位相减法求和的步骤 1．写出Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2．等式两边同乘等比数列的公比q，即qSn＝qa1＋qa2＋…＋qan(q≠1)． 3．两式错位相减转化成等比数列求和． 4．两边同除以1－q，求出Sn. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列{22－n}是递减数列．(　　) (2)数列的前n项和不能用错位相减法求和．(　　) (3)数列的前5项和为.(　　) (4)数列的最大值为，最小值为－.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99项的和为(　　) A．2100－101　　　　　 B．299－101 C．2100－99 D．299－99 解析　由数列可知an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，所以，前99项的和为S99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝－99＝2100－101. 答案　A 3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　) A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 解析　每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2， 依题意，得＝381，解得a1＝3. 答案　B 4．已知等比数列{an}的公比q≠1，且a1＝1,3a3＝2a2＋a4，则数列的前4项和为____________． 解析　因为在等比数列{an}中，a1＝1,3a3＝2a2＋a4， 所以3q2＝2q＋q3. 又因为q≠1，所以q＝2，所以an＝2n－1， 所以＝2n－1， 即是首项为，公比为的等比数列， 所以数列的前4项和为＝. 答案　 题型一　等比数列前n项和的实际应用 　我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是“今有蒲草第一天长高3尺，莞草第一天长高1尺，以后蒲草每天长高前一天的一半，而莞草每天长高前一天的2倍，问多少天蒲草和莞草高度相同？”根据上述已知条件，可求得第____________天，蒲草和莞草高度相同．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，结果精确到0.1) [解析]　设第n天蒲草和莞草高度相同． 由题意可得＝，即2n＋＝7， 解得2n＝6,2n＝1(舍去)． 所以n＝＝1＋≈2.6. 所以估计第2.6天蒲草和莞草高度相同． [答案]　2.6 ●规律方法 应用等比数列前n项和公式解决实际问题的步骤 (1)构建数列模型． (2)由题设确定数列为等比数列，并求公比q，或建立数列递推关系，并化归为等比数列，求出公比q. (3)利用等比数列前n项和公式进行计算． [注意]　①数列项数的确定，特别是涉及年份的问题，要能正确确认起始年份；②正确区分问题是求第n项，还是求前n项的和． [触类旁通] 1．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业有促进作用，预计今后旅游业收入每年会比上年增加.设n年内(本年度为第1年)总投入为Sn万元，旅游业总收入为Tn万元，分别写出Sn，Tn的表达式． 解析　第1年投入为800万元， 第2年投入为800×万元， …… 第n年投入为800×n－1万元， 所以n年内的总投入为 Sn＝800＋800×＋…＋800×n－1 ＝800 ＝4 000×万元． 第1年旅游业收入为400万元， 第2年旅游业收入为400×万元， …… 第n年旅游业收入为400×n－1万元， 所以n年内的旅游业总收入为 Tn＝400＋400×＋…＋400×n－1 ＝400 ＝1 600×万元． 题型二　错位相减法求和(一题多变) 　已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N＋)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式