第1章 3.2 第1课时 等比数列的前n项和（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

3．2　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和 学业标准 素养目标 1．掌握等比数列的前n项和公式，能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单问题．(重点) 2．掌握等比数列前n项和的性质，并能综合应用．(重点、难点) 1．通过等比数列前n项和公式的推导，培养逻辑推理等核心素养． 2．借助等比数列求和的综合应用，提升数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学1　等比数列前n项和公式 　要求通项为an＝2n－1的等比数列前64项的和，能不能像等差数列求和一样用倒序相加法？ [提示]　不能用倒序相加法，因为对应各项后的和不相等． 　如何求等比数列{an}的前n项和Sn? [提示]　设等比数列{an}的首项是a1，公比是q，前n项和为Sn. 由Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，① 则qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn.② 由①－②得：(1－q)Sn＝a1－a1qn. 当q≠1时，Sn＝； 当q＝1时，由于a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝na1. 　当q≠1时，Sn＝＝－qn＋，即等比数列{an}的前n项和可以写成Sn＝Aqn＋B(q≠1，且AB≠0)的形式，其中A＋B＝0，反之成立吗？ [提示]　成立．若数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B(q≠1且AB≠0)，且A＋B＝0，则数列{an}是等比数列．证明如下：当n＝1时，a1＝S1＝Aq＋B＝A(q－1)；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－Aqn－1＝(q－1)·Aqn－1，又因为a1＝A(q－1)满足an＝(q－1)Aqn－1， 所以an＝A(q－1)qn－1，故数列{an}是等比数列． ◎结论形成 等比数列的前n项和公式 已知 量 首项、公比与项数 首项、末项与公比 求和 公式 　Sn＝　 　Sn＝　 [点睛]　在应用公式求和时，应注意到Sn＝的使用条件为q≠1且q≠0，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1. [拓展]　Sn是数列{an}的前n项和．{an}是公比不等于1的等比数列⇔Sn＝Aqn＋B，且A＋B＝0. 导学2　等比数列前n项和的性质 　在等比数列{an}中，若连续m项的和不等于0，则它们仍组成等比数列．即Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列．怎样证明这个关系？ [提示]　因为在等比数列{an}中有am＋n＝amqn， 所以Sm＝a1＋a2＋…＋am，S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝a1qm＋a2qm＋…＋amqm＝(a1＋a2＋…＋am)qm＝Sm·qm.同理S3m－S2m＝Sm·q2m，…， 所以当Sm≠0时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍组成等比数列． ◎结论形成 1．前n项和性质 等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成__等比__数列(当q＝－1，n为偶数时，上述性质不成立)，公比为__qn__. 2．项的个数的“奇偶”性质 在等比数列{an}中，公比为q. (1)若共有2n项，则S偶∶S奇＝__q__； (2)若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝(q≠0，q≠1且q≠－1)． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1，，2，…，100的各项和等于2.(　　) (2)若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na.(　　) (3)若a∈R，则1＋a＋a2＋…＋an－1＝.(　　) (4)1－2＋4－8＋16－…＋(－2)n－1＝.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是(　　) A．179　　　　　　 B．211 C．243 D．275 解析　因为q4＝＝＝4，各项都是正数， 所以q＝， 因此S5＝＝＝211. 答案　B 3．等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析　由题意知公比q≠1， 则S3＝＝a1q＋10a1， 得q2＝9，又a5＝a1q4＝9，则a1＝. 答案　C 4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝____________. 解析　由S6＝4S3，所以＝4·， 所以q3＝3(q3＝1不合题意，舍去)， 所以a4＝a1q3＝1×3＝3. 答案　3 题型一　等比数列前n项和的基本计算 　(1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14　　　　　　　 B．12 C．6 D．3 (2)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝