第1章 3.1 第2课时 等比数列的性质及其应用（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

第2课时　等比数列的性质及其应用 学业标准 素养目标 1．理解等比中项的概念，会求两个数的等比中项．(易错点) 2．掌握等比数列的常用性质并能解决有关问题．(重点) 3．能运用等比数列的知识解决一些实际问题．(难点) 1．通过等比中项的学习，提升数学抽象等核心素养． 2．通过等比数列性质的探究与应用，培养逻辑推理、数学运算等核心素养． 3．通过等比数列的实际应用，培养数学建模等核心素养. [教材梳理] 导学1　等比数列的增减性 　研究数列的增减性，并求项的最大值． [提示]　设an＝n，由指数函数的单调性知数列是递减数列，故项的最大值为a1＝. ◎结论形成 等比数列的增减性 1．当q<0时，{an}是摆动数列． 2．当0<q<1时，若a1>0，则{an}是减数列；若a1<0，则{an}是递增数列． 3．当q＝1时，{an}是常数列，不具有增减性． 4．当q>1时，若a1>0，则{an)是增数列，若a1<0，则{an}是减数列． 导学2　等比数列项的性质 　已知等比数列{an}：1,2,4,8,16，…，2n－1，… (1)计算a1a4＝____________；a2a3＝____________.并说明a1a4与a2a3有什么关系？它们的项数之间有什么关系？ [提示]　a1a4＝8，a2a3＝8，所以a1a4＝a2a3；项数之和对应相等，即1＋4＝2＋3. (2)若项数满足4＋5＝2＋7，那么a4a5＝a2a7吗？ [提示]　相等，a4＝23＝8，a5＝24＝16，a2＝2， a7＝26＝64，所以a4a5＝128＝a2a7. (3)若m＋n＝p＋l(m，n，p，l∈N＋)，那么aman＝apal吗？ [提示]　相等，aman＝2m－1×2n－1＝2m＋n－2， apal＝2p－1×2l－1＝2p＋l－2.因为m＋n＝p＋l， 所以m＋n－2＝p＋l－2，所以aman＝apal. 　对任意的等比数列{an}，若aman＝apal(m，n，p，l∈N＋)，则m＋n＝p＋l吗？ [提示]　不一定相等，当数列{an}为常数列时，m＋n与p＋l不一定相等． ◎结论形成 1．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则aman＝__apaq__. (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，aman＝__a__. (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1an＝a2an－1＝…＝akan－k＋1＝…. 2．等比数列的常用结论 (1)若{an}是公比为q(q≠0)的等比数列，则下列数列： ①{can}(c为任意不为零的常数)是公比为__q__的等比数列． ②{|an|}是公比为__|q|__的等比数列． ③{a}(m为常数，m∈N＋)是公比为__qm__的等比数列． (2)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{anbn}是公比为__q1q2__的等比数列． 导学3　等比中项 　若三个数a，b，c成等比数列，那么它们之间的关系应如何表示？ [提示]　＝，即b2＝ac. 　等比数列中的任意连续三项之间有什么关系？ [提示]　a＝an－1·an＋1. ◎结论形成 1．等比中项的概念 如果在a与b之间插入一个数__G__，使得a，G，b成__等比数列__，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝　±　.我们称G为a，b的__等比中项__． 2．结论 在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷等比数列的末项除外)都是它的__前一项__与__后一项__的等比中项． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何两个实数都有等比中项，且其等比中项有两个．(　　) (2)在等比数列{an}中，若aman＝apaq，则m＋n＝p＋q.(　　) (3)等比数列去掉前面若干项后，余下的项仍构成等比数列．(　　) (4)在等比数列{an}中，若m＋n＝p，则aman＝ap.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(多选题)在等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，那么a4＋a5＝(　　) A．27　　 B．－27　　 C．81　　 D．－81 解析　因为q2＝＝9，所以q＝±3， 因此a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27或－27，故选A，B. 答案　AB 3．在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a3和a7的等比中项是(　　) A．8 B．±8 C. D．± 解析　a3＝a1q2＝2，a7＝a1q6＝32，故a3和a7的等比中项是±＝±8. 答案　B 4．已知数列{an}为等比数列，若a4＋a6＝10，则a7(a1＋2a3)＋a3a9的值为____________． 解析　a