第1章 3.1 第1课时 等比数列的概念及其通项公式（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

　等比数列 3．1　等比数列的概念及其通项公式 第1课时　等比数列的概念及其通项公式 学业标准 素养目标 1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的判断与证明方法．(重点) 2．会归纳等比数列的通项公式，会运用通项公式解决一些简单问题．(重点、难点) 1．借助等比数列概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过等比数列通项公式的求解与运用，提升逻辑推理、数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学1　等比数列的概念 　观察下面几个数列：①3,9,27,81,243，…；②1，，，，，…；③，，，，，…；④1，－2,4，－8,16，…. 思考：(1)这些数列是等差数列吗？ (2)这几个数列的共同特征是什么？ [提示]　(1)③是等差数列，其余都不是等差数列． (2)这些数列的共同特点是从第2项起，每一项与它的前一项的比都是同一个常数． ◎结论形成 等比数列的概念 如果一个数列从第__2__项起，每一项与它的__前一项的比值__都是__同一个__常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的__公比__，通常用字母q(q≠0)表示． [点睛]　 对等比数列概念的理解 1．每一项与它的前一项的比值必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等比数列的基本特征)． 2．等比数列中的任何一项均不能为零． 3．等比数列的公比可以是正数、负数，但不能为零． 导学2　等比数列的通项公式 　给出等比数列{an}：1,3,9,27,81，…，请根据下列两种思路探求其通项公式． (1)根据等比数列的定义，{an}的递推公式可以如何表示？利用累乘法能否求得{an}的通项公式？ (2)根据等比数列的定义，能否将{an}的各项都用首项和公比表示出来？由此归纳{an}的通项公式． [提示]　(1){an}的递推公式是a1＝1，＝3(n≥2)，利用累乘法可得an＝3n－1. (2)由等比数列的定义：＝q，所以a2＝a1q， ＝q，a3＝a2q＝a1q2，…，＝q， an＝an－1q＝…＝a1qn－1. ◎结论形成 等比数列的通项公式 若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝__a1qn－1(a1≠0，q≠0)__． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果一个数列的每一项与它的前一项的比是一个常数，那么这个数列是等比数列．(　　) (2)若数列{an}的通项公式是an＝cqn(c，q∈R，c≠0，q≠0)，则{an}一定是等比数列．(　　) (3)常数列a，a，a，a，…一定是等比数列．(　　) (4)若数列的通项公式为an＝则{an}是等比数列．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．设{an}是公比为负数的等比数列，a1＝2，a3－4＝a2，则a3＝(　　) A．2　　　 B．－2　　　 C．8　　　 D．－8 解析　设等比数列{an}的公比为q＜0， 因为a1＝2，a3－4＝a2， 所以2q2－4＝2q，解得q＝－1. 则a3＝2×(－1)2＝2. 答案　A 3．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝(　　) A．4 B．－4 C．±4 D．5 解析　设公比为q(q≠0且q≠1)， 由题知 ①②得q4＝4，故q2＝2， 则a5＝a3q2＝2×2＝4，故选A. 答案　A 4．在等比数列{an}中，a1＋a2＝6，a3＝3，则公比q的值为____________． 解析　由题意得 解得或 答案　1或－ 题型一　等比数列通项公式的应用(一题多解) 　在等比数列{an}中， (1)a4＝2，a7＝8，求an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. [解析]　设首项为a1，公比为q. (1)解法一　因为所以 由①②得q3＝4，从而q＝， 而a1q3＝2，于是a1＝＝， 所以an＝a1qn－1＝. 解法二　因为a7＝a4q3，所以q3＝4，q＝. 所以an＝a4qn－4＝2·()n－4＝. (2)因为 由③④得q＝，从而a1＝32，又an＝1， 所以32×n－1＝1，即26－n＝20，所以n＝6. ●方法技巧 与求等差数列的通项公式的基本量一样，求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等比数列的通项公式an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量．求解时，要注意应用q≠0验证求得的结果． [触类旁通] 1．(1)在公比为整数的等比数列{an}中，a2－a3＝－2，a1＋a3＝，则{an}的通项公式an＝____________. (2)在等比数列{an}中， ①(一题多解)若a4＝27，q＝－3，求a7； ②若a2＝18，a4＝8，求a1和q； ③若a5－a1＝15，a4－