第1章 2.2 第2课时 等差数列习题课（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

第2课时　等差数列习题课 学业标准 素养目标 1．掌握等差数列前n项和的性质并能简单应用．(难点) 2．能利用等差数列的知识解决简单的实际问题．(重点、难点) 1．通过等差数列前n项和性质的应用，提升数学运算等核心素养． 2．借助等差数列的知识解决实际问题，培养数学建模等核心素养. [教材梳理] 导学　等差数列前n项和的性质 　Sn是数列{2n－1}的前n项和． (1)判断数列是不是等差数列． (2)证明：S3，S6－S3，S9－S6成等差数列． [提示]　设an＝2n－1，易知数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列． (1)因为Sn＝n2，所以＝n，即数列是等差数列． (2)证明　因为S3＝a1＋a2＋a3，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝a1＋a2＋a3＋18. S9－S6＝a7＋a8＋a9＝a4＋a5＋a6＋18， 故S3，S6－S3，S9－S6成等差数列． ◎结论形成 等差数列的前n项和常用的性质 1．等差数列{an}的依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为__k2d__的等差数列． 2．数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列为__等差__数列． 3．若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， (1)当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd， ＝； (2)当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an， ＝. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S2n＋1＝(2n＋1)an.(　　) (2)若等差数列{an}共有20项，则＝.(　　) (3)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S5，S10，S15也成等差数列．(　　) (4)若数列{an}为等差数列，则数列{|an|}一定不是等差数列．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是(　　) A．5　　　 B．4　　　 C．3　　　 D．2 解析　设等差数列为{an}，公差为d， 则 两式作差得5d＝15，所以d＝3. 答案　C 3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝(　　) A．63 B．45 C．36 D．27 解析　由{an}是等差数列， 得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列， 即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， 得到S9－S6＝2S6－3S3＝45＝a7＋a8＋a9. 答案　B 4．等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为____________． 解析　因为an＝2n＋1，所以a1＝3， 所以Sn＝＝n2＋2n， 所以＝n＋2， 所以是公差为1，首项为3的等差数列， 所以前10项和为3×10＋×1＝75. 答案　75 题型一　等差数列前n项和性质的应用(一题多解　一题多变) 　(1)已知数列{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝____________； (2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝100，S100＝10，求S110. [解析]　(1)＝＝ ＝＝＝＝. [答案]　 (2)解法一　数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列，设其公差为d，前10项和为10S10＋d＝S100＝10，解得d＝－22， 所以S110－S100＝S10＋(11－1)d＝100＋10×(－22)＝－120， 所以S110＝－120＋S100＝－110. 解法二　设Sn＝An2＋Bn(A，B∈R)， 则 解得A＝－，B＝. 故Sn＝－n2＋n， 所以S110＝－×1102＋×110＝－110. [母题变式] 1．(变结论)本例(2)若条件不变，则S120的值为____________． 解析　数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列，设其公差为d，其前10项和为10S10＋×d＝S100＝10，所以d＝－22，所以S110－S100＝S10＋(11－1)d＝100＋10×(－22)＝－120，所以S110＝－120＋S100＝－110，S120－S110＝S10＋(12－1)d＝100＋11×(－22)，所以S120＝S110＋100＋11×(－22)＝－252. 答案　－252 2．(变条件、变结论)本例(2)中的条件“S10＝100，S100＝10”若换为“Sm＝70，S2m＝110”，其他条件不变，则S3m的值为____________． 解析　因为{an}为等差数列， 所以Sm，S2m－Sm，S3m