第1章 2.2 第1课时 等差数列的前n项和（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

2．2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和 学业标准 素养目标 1．体会等差数列的前n项和公式的推导过程．(难点) 2．掌握等差数列的前n项和公式并能应用其解决前n项和及其最值等有关问题. 1．借助等差数列的前n项和公式的推导，培养逻辑推理等核心素养． 2．通过等差数列的前n项和公式的应用，重点提升数学运算、逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学1　等差数列的前n项和公式 如图，某仓库堆放了一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根． 　这堆钢管共有几层？图形的横截面大致是什么形状？ [提示]　六层；等腰梯形． 　假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少根钢管？ [提示]　(4＋9)×6＝78. 　原来有多少根钢管？ [提示]　×78＝39. 　能否利用前面问题推导等差数列的前n项和公式Sn＝a1＋a2＋…＋an? [提示]　Sn＝a1＋a2＋…＋an Sn＝an＋an－1＋…＋a1 所以2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1) ＝n(a1＋an)， 所以Sn＝. ◎结论形成 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝　n(a1＋an)　 Sn＝　na1＋n(n－1)d　 导学2　从函数角度认识等差数列的前n项和公式 　我们对等差数列的通项公式变形：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，分析出通项公式与一次函数的关系．你能类比这个思路分析一下Sn＝na1＋d吗？ [提示]　在等差数列{an}中， Sn＝na1＋d＝n2＋n. 令A＝，B＝a1－，得Sn＝An2＋Bn. 当A≠0(即d≠0)时，Sn是关于n的二次函数且常数项为0，那么点(n，Sn)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图象上； 当A＝0(即d＝0)时，点(n，Sn)是直线y＝Bx上一系列孤立的点． ◎结论形成 已知数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn＋C，若C＝0，则数列{an}为等差数列；若C≠0，则数列{an}不是等差数列． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若数列{an}的前n项和Sn＝4，则{an}不是等差数列．(　　) (2)若数列{an}的前n项和Sn＝kn(k∈R)，则{an}为常数列．(　　) (3)等差数列{an}的前n项和Sn一定是关于n的二次函数．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)× 2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a4＋a9＝24，则S9＝(　　) A．36　　　　　　 B．72 C．144 D．70 解析　在等差数列{an}中， 由a2＋a4＋a9＝24，得：3a1＋12d＝24， 即a1＋4d＝a5＝8. 所以S9＝9a5＝9×8＝72. 答案　B 3．(多选题)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＋a5＝24，S6＝48，则下列正确的是(　　) A．a1＝－2 B．a1＝2 C．d＝4 D．d＝－4 解析　设等差数列{an}的公差为d. 因为a4＋a5＝24， S6＝48， 所以2a1＋7d＝24,6a1＋d＝48， 解得a1＝－2，d＝4. 答案　AC 4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝4，S3＝3，则公差d＝____________. 解析　由等差数列的性质可得S3＝＝＝3，解得a2＝1， 故公差d＝a3－a2＝4－1＝3. 答案　3 题型一　等差数列的前n项和的相关计算 　(1)设各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1a2＝35，a1a3＝45，则S10＝____________. (2)在等差数列{an}中， ①已知a3＝16，S20＝20，求S10； ②已知a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12； ③已知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，Sn＝210，求n. [解析]　(1)设各项均为正数的等差数列{an}的公差为d(d＞0)，因为a1a2＝35，a1a3＝45， 所以a1(a1＋d)＝35，a1(a1＋2d)＝45， 解得a1＝5，d＝2. 则S10＝10×5＋×2＝140. [答案]　140 (2)①设等差数列{an}的公差为d，则有 解得 所以S10＝10×20＋＝200－90＝110. ②因为Sn＝n·＋·＝－15， 整理得n2－7n－60＝0， 解得n＝12或n＝－5(舍去)， 所以n＝12. a12＝＋(12－1)×＝－4. ③因为a1＋a2＋a3＋a4＝40， an－3＋an－2＋an－1＋an＝80， 则a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3. 所以4(a1＋an)＝40＋8