第1章 2.1 第2课时 等差数列的性质及其应用（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

第2课时　等差数列的性质及其应用 学业标准 素养目标 1．理解等差中项的概念，会求两个数的等差中项．(重点) 2．会从函数的角度研究等差数列的增减性并能运用等差数列的性质解决问题．(重点、难点) 1．借助等差中项的学习，提升数学抽象等核心素养． 2．通过等差数列性质的探究性应用，培养逻辑推理、数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学1　从函数角度研究等差数列 　给出等差数列{an}：1,5,9,13，…，其通项公式是什么？从函数的角度看，an是关于n的什么函数？其图象有什么特点？该数列的增减性如何？ [提示]　通项公式为an＝4n－3，an是关于n的一次函数，其图象是直线y＝4x－3上的一群孤立的点，显然是递增函数． 　由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，那么这个等差数列的图象与一次函数y＝dx＋(a1－d)(其中d≠0)图象之间有什么关系？公差d的几何意义是什么？ [提示]　等差数列an＝dn＋(a1－d)的图象就是一次函数y＝dx＋(a1－d)图象的一个子集，是直线y＝dx＋(a1－d)上的均匀分布的一群孤立的点．公差d的几何意义就是对应直线y＝dx＋(a1－d)的斜率． ◎结论形成 从函数的角度研究等差数列的增减性与图象 由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)可知，其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些__等间隔的点__，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的__斜率__，即自变量每增加1，函数值增加d. 当__d>0__时，{an}为__递增数列__，如图甲所示； 当__d＜0__时，{an}为__递减数列__，如图乙所示； 当__d＝0__时，{an}为__常数列__，如图丙所示． 导学2　等差中项 　若三个数a，b，c成等差数列，那么它们之间的关系应如何表示？ [提示]　b－a＝c－b，即2b＝a＋c. 　等差数列中的任意连续三项之间有什么关系？ [提示]　2an＝an－1＋an＋1. ◎结论形成 等差中项 1．概念 如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成__等差__数列，那么A叫作a与b的等差中项，并且A＝　　. 2．结论 在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的__前一项__与__后一项__的等差中项． 导学3　等差数列项的运算性质 　请你观察几个具体的等差数列，通过计算分析判断：与首末两项“等距离”的两项之和是否等于首项与末项的和？当m＋n＝p＋q时，是否有am＋an＝ap＋aq？特别地，当m＋n＝2t时，am，an，at之间的关系是什么？ [提示]　等于；有am＋an＝ap＋aq，am＋an＝2at. ◎结论形成 等差数列项的运算性质 1．等差数列的项的对称性．在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…. 2．项的个数相同的前提下，项数和相等，对应项之和相等，即在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则__am＋an＝ap＋aq__，特别地，若m＋n＝2t，则am＋an＝__2at__. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何两个实数都有等差中项且唯一．(　　) (2)在等差数列的通项公式中，an是关于n的一次函数．(　　) (3)在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q.(　　) (4)等差数列去掉前面若干项后，剩下的项仍构成等差数列．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝(　　) A．12　　　 B．16　　　 C．20　　　 D．24 解析　在等差数列中，由性质可得a2＋a10＝a4＋a8＝16. 答案　B 3．由公差为d(d≠0)的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是(　　) A．新数列不是等差数列 B．新数列是公差为d的等差数列 C．新数列是公差为2d的等差数列 D．新数列是公差为3d的等差数列 解析　因为(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d， 所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列． 答案　C 4．已知{an}为等差数列，若a2＝2a3＋1，a4＝2a3＋7，则a5＝____________. 解析　由a2＝2a3＋1和a4＝2a3＋7两式相减得d＝3，故a2＝2(a2＋3)＋1，解得a2＝－7， 故a5＝a2＋3d＝－7＋9＝2. 答案　2 题型一　等差中项及其应用(一题多变) 　(1)若3，x，y，z,12成等差数列，则x