第1章 2.1 第1课时 等差数列的概念及其通项公式（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

　等差数列 2．1　等差数列的概念及其通项公式 第1课时　等差数列的概念及其通项公式 学业标准 素养目标 1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的判断与证明的方法．(重点) 2．会归纳等差数列的通项公式，会运用通项公式解决一些简单问题．(重点、难点) 1．借助等差数列概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助等差数列通项公式的求解与运用，提升数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学1　等差数列的概念 　数列： (1)0,5,10,15,20； (2)48,53,58,63； (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5. 以上三个数列有什么共同的特征？ [提示]　共同特征：从第2项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数． 　问题1中的数列的共同特征能不能用一个式子表示？ [提示]　能，如果用d表示那个常数，则可以表示成an＋1－an＝d. ◎结论形成 等差数列的概念 对于一个数列，如果从第__2__项起，每一项与它的前一项的差都是__同一个常数__，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的__公差__，通常用字母d表示． 由此定义可知，对等差数列{an}，有a2－a1＝a3－a2＝…＝an－an－1＝…＝__d__. 导学2　等差数列的通项公式 　若一个等差数列{an}，首项是a1，公差为d，你能用a1和d表示出a2，a3，a4吗？ [提示]　a2－a1＝d，即a2＝a1＋d； a3－a2＝d，即a3＝a2＋d＝a1＋2d； a4－a3＝d，即a4＝a3＋d＝a1＋3d. 　由问题1中的a2，a3，a4的表示，你能猜想等差数列的通项公式吗？ [提示]　猜想通项公式为an＝a1＋(n－1)d. ◎结论形成 等差数列的通项公式 若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an＝__a1＋(n－1)d__. [拓展]　在公差为d的等差数列中，an与am满足关系：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列．(　　) (2)若数列{an}满足an－an－1＝d(d是常数)，则{an}是等差数列．(　　) (3)若数列{an}满足an＋2－an＝3，则{an}是等差数列．(　　) (4)若a＋c＝2b，则实数a，b，c成等差数列．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知数列{an}对任意的n∈N＋，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为(　　) A．公差为2的等差数列 B．公差为1的等差数列 C．公差为－2的等差数列 D．非等差数列 解析　由题意知an＝2n＋1，则an＋1－an＝2，故选A. 答案　A 3．已知等差数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，则a11＝(　　) A．31　 　 B．32　 　 C．61　 　 D．62 解析　因为等差数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6， 所以a3＝6＋1＝7， a5＝6＋7＝13， a7＝6＋13＝19， a9＝6＋19＝25， a11＝6＋25＝31. 答案　A 4．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为____________． 解析　由已知得，此等差数列的公差为d＝3， 故a20＝－5＋19×3＝52. 答案　52 题型一　等差数列的概念 　判断下列数列是不是等差数列，如果不是，请说明理由． (1)3,5,7,9； (2)3，－3,3，－3； (3)an＝ (4)an＝a，且n∈N＋(a为常数)． [解析]　(1)该数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数2，所以该数列是等差数列． (2)－3－3＝－6,3－(－3)＝6，不等于同一个常数，所以该数列不是等差数列． (3)由题意得a1＝6，a2＝5，当n≥3时，an－an－1＝－2.由于5－6＝－1，而从第3项起，每一项与前一项的差等于同一个常数－2，所以该数列不是等差数列，但可以说从第2项起该数列是等差数列． (4)该数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数0，所以该数列是等差数列． ●规律方法 判断一个数列是不是等差数列，关键看它是否符合等差数列的定义． [触类旁通] 1．判断下列数列是不是等差数列，若是，则求出其公差． (1)1,2,3,4,5； (2)5,5,5,5； (3)3,5,7,10； (4)a，a＋b，a＋2b，a＋3b(其中a，b为常数)． 解析　(1)2－1＝3－2＝4－3＝5－4＝1，则该数列是等差数列，且公差为1. (2)5－5＝5－5＝5－5＝0，则该数列是等差数列，且公差为0. (3)5－3＝7－5＝2,10－7＝3，则该数列不是等差数列． (