第1章 1.2 数列的函数特性（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

1．2　数列的函数特性 学业标准 素养目标 1．理解数列的函数特性．(重点) 2．会利用数列的图象、通项公式判断数列的增减性．(难点) 1．通过学习数列的函数特性，培养直观想象等核心素养． 2．通过判断数列的增减性，提升逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学　数列的函数特性 　数列可看作函数，类比函数的表示方法，你认为数列除了通项公式表示法之外，还可以怎样表示？ [提示]　数列还可以用图象、列表来表示． 　以数列2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？ [提示]　(1)通项公式法：an＝2n. (2)列表法： n 1 2 3 … k … an 2 4 6 … 2k … (3)图象法： 　类比函数的单调性，问题2中的数列的增减性如何？ [提示]　问题2中的数列是递增数列，它满足an＋1>an. ◎结论形成 1．数列的图象 可以把一个数列视作定义在正整数集(或其子集)上的函数，因此可以用__图象(平面直角坐标系内的一串点)__来表示数列，图象中每个点的坐标为__(n，an)，n＝1,2,3，…__这个图象也称为数列的图象． 2．数列的增减性 递增数列 一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即__an＋1>an__，那么这个数列叫作递增数列． 递减数列 一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即__an＋1<an__，那么这个数列叫作递减数列． 常数列 如果数列{an}的各项__都相等__，那么这个数列叫作常数列. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列可以看作是定义域为正整数集的函数的函数值．(　　) (2)函数y＝f(x)为减函数，则数列an＝f(n)必为递减数列．(　　) (3)0,1,0,1，…是常数列．(　　) (4)数列是递增数列．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．若数列{an}的通项公式为an＝4n－5，则关于此数列的图象叙述正确的是(　　) A．此数列不能用图象表示 B．此数列的图象仅在第一象限 C．此数列的图象为直线y＝4x－5 D．此数列的图象为直线y＝4x－5上满足x∈N＋的一系列孤立的点 解析　数列{an}的通项公式为an＝4n－5，它的图象就是直线y＝4x－5上满足x∈N＋的一系列孤立的点，故选D. 答案　D 3．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是(　　) A．递增数列　　　　　 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 解析　an＋1－an＝3>0，故数列{an}为递增数列． 答案　A 4．若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋24n，则数列{an}各项中的最大项是(　　) A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 解析　因为an＝－2n2＋24n＝－2(n－6)2＋72， 所以当n＝6时，an取得最大值为a6，故选C. 答案　C 题型一　图象法判断数列的增减性 　已知数列{an}的通项公式为an＝，画出它的图象，并判断增减性． [解析]　图象如图所示，当1≤n≤4，n∈N＋时，数列{an}是递减的；当n≥5，n∈N＋时，数列{an}也是递减的． ●规律方法 数列的图象可直观地反映数列各项的变化趋势，从而判断数列的增减性． [触类旁通] 1．根据下面3个数列的通项公式，分别作出它们的图象，并判断它们是递增数列还是递减数列． (1)an＝－；(2)bn＝；(3)cn＝. 解析　(1)图象如图①，由图象知数列{an}为递减数列． (2)图象如图②，由图象知数列{bn}为递增数列． (3)图象如图③，由图象观察表示数列{cn}的各点在横轴上、下摆动，它不是递增数列，也不是递减数列． 题型二　定义法判断数列的增减性 (一题多解) 　已知数列{an}的通项公式为an＝－，求证：数列{an}为递增数列． [证明]　证法一　an＋1－an＝(－)－(－)＝2－(＋)． 因为(2)2－(＋)2 ＝4n＋4－(n＋2＋n＋2 ) ＝2(n＋1)－2 ＝2(－ ) ＝2(－ )>0， 即an＋1>an，所以数列{an}是递增数列． 证法二　＝ ＝<1. 因为an<0，所以an＋1>an. 所以数列{an}是递增数列． ●素养聚焦 在判断数列增减性的过程中，提升了逻辑推理等核心素养． ●规律方法 (1)作差比较法．根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列； (2)作商比较法．根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断； (3)图象法．结合相应函数的图象直观判断． [触类旁通] 2．已知数列{an}的通项公式为an＝a·n(a≠0且为常数)，试判断数列{an}的增减性． 解析　an－an－1＝－a