第1章 1.1 数列的概念（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

　数列的概念及其函数特性 1．1　数列的概念 学业标准 素养目标 1．通过实例理解数列及其相关概念，了解数列是一种特殊的函数．(难点) 2．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(重点) 3．掌握数列通项公式的简单应用．(重点、难点) 1．通过数列概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过数列通项公式的学习及应用，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学1　数列及其相关概念 　按顺序分别写出满足下列条件的数： (1)正整数1,2,3,4,5,6的倒数； (2)－1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂； (3)正整数1,2,3,4,5,6，…的平方． [提示]　(1)1，，，，，. (2)(－1)1，(－1)2，(－1)3，(－1)4. (3)12,22,32,42,52,62，… 　问题1中的几列数有什么共同的特点？ [提示]　(1)都是一列数；(2)都有一定的顺序． ◎结论形成 1．数列及其相关概念 数列 按__一定次序__排列的一列数叫作数列． 项 数列中的__每一个数__叫作这个数列的项． 首项 数列的__第1项a1__叫作数列的首项． 通项 数列中的__第n项an__叫作数列的通项. 2．数列的表示 (1)一般形式：a1，a2，a3，…，an，…. (2)字母表示：上面数列也记为__{an}__． 3．数列按项的个数分类 有穷数列 项数__有限__的数列 无穷数列 项数__无限__的数列 导学2　数列与函数的关系、数列的通项公式 　函数y＝7x＋9与y＝3x，当依次取1,2,3，…时，其函数值能构成数列吗？ [提示]　能构成数列，分别是数列16,23,30,37，…；3,6,9,12，…. 　观察数列1，，，，，…，数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系能否用一个公式来表示？ [提示]　该数列的对应关系为数列的每一项为这一项序号的倒数，公式an＝可表示这个数列． ◎结论形成 1．数列与函数的关系 数列可以看作定义域为　正整数集N＋(或其子集)　的函数． 2．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成 __an＝f(n)__，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的__解析式__． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}．(　　) (2)数列中的项互换次序后还是原来的数列．(　　) (3){an}与an的意义一样，都表示数列．(　　) (4)利用数列的通项公式可以求出数列的任何一项．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．数列1,2,4,8,16,32，…的一个通项公式为(　　) A．an＝2n－1　　　　 B．an＝2n－1 C．an＝2n D．an＝2n＋1 解析　从第二项开始，每一项是前一项的2倍， 故a1＝1，a2＝21，a3＝22，a4＝23，a5＝24，…， 易得an＝2n－1. 答案　B 3．已知数列－1，，－，…，(－1)n，…，则它的第5项的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 解析　当n＝5时，(－1)n＝－. 答案　D 4．已知数列{an}的通项公式an＝2n－1，则a5＝____________. 解析　a5＝2×5－1＝9. 答案　9 题型一　根据数列的前几项求通项公式 　(1)(多选题)已知n∈N＋，给出下列四个表达式，其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是(　　) A．an＝　　 B．an＝ C．an＝ D．an＝ (2)写出下列数列的一个通项公式： ①，2，，8，，… ②1，－3,5，－7,9，… ③9,99,999,9999，… ④，，，，… ⑤－，，－，，… [解析]　(1)A中，an＝当n为奇数时，an＝0；当n为偶数时，an＝1，满足条件． B中，an＝，满足条件． C中，an＝，满足条件． D中，an＝，当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝0，以此类推，不满足条件．故选ABC. [答案]　ABC (2)①数列的项有的是分数，有的是整数，可先将各项都统一成分数再观察：，，，，，…，所以，它的一个通项公式为an＝. ②数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9，…是连续的正奇数，其通项公式为2n－1；考虑(－1)n＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)． ③各项加1后，分别变为10,100,1000,10 000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1. ④数列中每一项均由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，其通项公式为2n－1；分子的前一部分是