第1章 3.2 第2课时 等比数列习题课（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

[必备知识·基础巩固] 1．已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋n，前n项和为Sn，则S6＝(　　) A．282　 　 B．147　 　 C．45　 　 D．70 解析　S6＝a1＋a2＋…＋a6＝(2＋22＋…＋26)＋(1＋2＋…＋6)＝147. 答案　B 2．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N＋，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为(　　) A．－2 B．2 C．－3 D．3 解析　设数列{an}的公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.因为＝＝qm＋1＝9，所以qm＝8， 所以＝＝qm＝8＝， 所以m＝3，所以q3＝8，所以q＝2. 答案　B 3．已知等差数列{an}满足：a1＞0，S3＝a5，a1，a2，a4＋2成等比数列，则 (　　) A.(4n－1) B．(4n－1) C．4n－1 D．4n－4 解析　设等差数列{an}的公差为d，因为S3＝a5，a1，a2，a4＋2成等比数列，所以解得a1＝1，d＝2，故an＝2n－1， ＝21＋23＋…＋22n－1＝2·＝(4n－1)． 答案　A 4．已知等比数列{an}的首项为2，前2m项满足a1＋a3＋…＋a2m－1＝170，a2＋a4＋…＋a2m＝340，则正整数m＝____________. 解析　因为等比数列{an}的首项为2，前2m项满足a1＋a3＋…＋a2m－1＝170，a2＋a4＋…＋a2m＝340， 所以公比q＝＝＝2， S2m＝＝170＋340＝510， 解得m＝4. 答案　4 5．如图，正方形边上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形……如此继续，若共得到1 023个正方形、设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为____________． 解析　设1＋2＋4＋…＋2n－1＝1 023，即＝1 023，解得n＝10.正方形边长构成数列，2，3，…，其中第10项为10＝，即所求最小正方形的边长为. 答案　 6．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn. 解析　(1)由题意知当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，当n＝1时，a1＝S1＝11，符合上式， 所以an＝6n＋5. 设数列{bn}的公差为d. 由即 解得b1＝4，d＝3.所以bn＝3n＋1. (2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1. 又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，得 Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)·2n＋1]， 2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)·2n＋2]， 两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)·2n＋2]＝3× ＝－3n·2n＋2， 所以Tn＝3n·2n＋2. [关键能力·综合提升] 7．(多选题)在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和．若a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则下列说法正确的有(　　) A．q＝2 B．数列{Sn＋2}是等比数列 C．S8＝510 D．数列{lg an}是公差为2的等差数列 解析　因为a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，且公比q为整数， 所以 所以或(舍)，故A正确； Sn＝＝2n＋1－2，所以S8＝510，故C正确； 所以Sn＋2＝2n＋1，故数列{Sn＋2}是等比数列，故B正确； 因为lg an＝lg 2n＝nlg 2，故数列{lg an}是公差为lg 2的等差数列， 故D错误．故选ABC. 答案　ABC 8．国庆期间，某公园将举行免费游园活动，免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来……按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是(　　) A．211－47 B．212－57 C．213－68 D．214－80 解析　由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列，出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列，记第n个30分钟内进入公园的人数为an，第n个30分钟内出来的人数为bn，则an＝4×2n－1，bn＝n，则上午11时30分公园内的人数为S＝2＋－＝212－57. 答案　B 9．已知数列{an}是首项为32的正项等比数列，Sn是其前n项和，且＝，若Sk≤4·(2k－1)，则正整数k的最小值为____________． 解析　设等比数列{an}的公比为q(q＞0)， 因为＝， 所以＝＝q2＝， 解得q＝. 所以Sk＝＝64. 不等式S