第1章 3.2 第1课时 等比数列的前n项和（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

[必备知识·基础巩固] 1．已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是(　　) A．1 B．－ C．1或－ D．－1或 解析　当q＝1时，an＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，得q＝－.综上，q的值是1或－，故选C. 答案　C 2．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2a6＝16,2S3＝a2＋a3＋a4，则a1＝(　　) A. B．2 C. D．4 解析　设正项等比数列{an}的公比为q(q＞0)， 由2S3＝a2＋a3＋a4，a2a6＝16， 可得2a1＋a2＋a3＝a4，a＝16，即a4＝4， 所以a1(2＋q＋q2)＝a1q3，a1q3＝4， 则q＝2，a1＝. 答案　A 3．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则的值为(　　) A. B． C. D． 解析　由题意可得a1≠0，所以＝＝＝＝.故选D. 答案　D 4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝，a＝a6，则S5＝____________. 解析　由a＝a6得(a1q3)2＝a1q5， 整理得q＝＝3. 所以S5＝＝. 答案　 5．等比数列{an}共有2n项，它的全部项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝____________. 解析　设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，偶数项之和与奇数项之和分别为S偶，S奇， 由题意S偶＋S奇＝3S奇， 即S偶＝2S奇， 因为数列{an}的项数为偶数， 所以q＝＝2. 答案　2 6．在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m. 解析　(1)设{an}的公比为q，由题意an＝qn－1， 由a5＝4a3得q4＝4q2，所以q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. (2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝. 由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解． 若an＝2n－1，则Sn＝2n－1. 由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6. 综上，m＝6. [关键能力·综合提升] 7．(多选题)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，＝21，则数列的前4项和为(　　) A. B． C. D． 解析　设等比数列{an}的公比为q， 则由a1＝2，＝21，得＝＝21， 整理得q4＋q2－20＝0， 解得q＝2或q＝－2， 所以an＝2n或an＝2·(－2)n－1. 当an＝2n时， 数列的前4项和为＋＋＋＝， 当an＝2·(－2)n－1时，数列的前4项和为： －＋－＝. 答案　AD 8．(多选题)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则下列说法正确的是(　　) A．q＝2 B.＝9 C．S3，S6，S9成等比数列 D．Sn＝2an＋a1 解析　由a6＝8a3，可得q3＝＝8，即q＝2，故A选项正确；an＝a1·2n－1，Sn＝＝a1·2n－a1＝2an－a1，故D选项错误；S3＝a1(23－1)，S6＝a1(26－1)，＝＝9，故B选项正确；又S9＝a1(29－1)＝511a1，S3＝a1(23－1)＝7a1，S3·S9＝3 577a，S＝a(26－1)2＝3 969a，故S3·S9＝S不成立，故C选项错误． 答案　AB 9．设Sn是等比数列{an}的前n项和，且满足3S9＝7S6，mS6＝nS3，则＝____________. 解析　设等比数列{an}的公比为q， 若q＝1，则3S9＝27a1,7S6＝42a1，若3S9＝7S6，则a1＝0，显然不成立，故q≠1； 因为3S9＝7S6，mS6＝nS3，所以3×＝7×，m＝n. 所以3(1＋q3＋q6)＝7(1＋q3)， 解得q3＝2或q3＝－. 所以＝1＋q3＝3或. 答案　3或 10．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且公比q≠1,1是S2和S3的等差中项，6是2S2和3S3的等比中项． (1)求S2和S3； (2)求数列{an}的前n项和； (3)求数列{Sn}的前n项和． 解析　(1)根据已知条件 整理得解得 (2)因为q≠1， 所以解得 所以Sn＝＝－n. (3)由(2)得S1＋S2＋…＋Sn ＝n－× ＝n－× ＝n＋. [学科素养·探索创新] 11．已知{an}是公比为q的等比数列，其前n项和为Sn，且满足a3＝12，____________.是否存在正整数k，使得Sk>2 020？若存在，求出k的最小值；若不存在，说明理由． 从①q＝2，②q＝，③q＝－2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 解析　选择①： 因为a3＝12，q＝2，所以a1＝3， 所以Sn＝＝3(2n－1)． 令Sk