第1章 3.1 第2课时 等比数列的性质及其应用（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是(　　) A．4　 　 B．－4　 　 C．2　 　 D．－2 解析　由an＝·2n－1＝2n－4，知a4＝1，a8＝24，其等比中项为±4. 答案　AB 2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　) A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 解析　设等比数列的公比为q，因为＝＝q3，即a＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列． 答案　D 3．已知实数列1，a，b，c,2成等比数列，则abc的值为(　　) A．4 B．±4 C．2 D．±2 解析　因为实数列1，a，b，c,2成等比数列， 所以ac＝1×2＝2，b2＝2，即b＝(负值不合题意，奇数项符号相同)， 所以abc＝2，故选C. 答案　C 4．在和之间插入三个实数，使这五个数成等比数列，则插入的三个实数的乘积等于____________． 解析　设这三个实数为a1，a2，a3，根据等比中项的定义与性质得a＝×＝36，所以a2＝6或a2＝－6(舍去)．所以a1，a2，a3的乘积等于a＝216. 答案　216 5．设等比数列{an}的前n项之积为Tn(n∈N＋)，已知am－1am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m＝____________. 解析　因为{an}为等比数列， 所以am－1am＋1＝a， 所以am－1am＋1－2am＝a－2am＝0，得am＝0(舍)或am＝2.又T2m－1＝a＝22m－1＝128＝27， 所以2m－1＝7，得m＝4. 答案　4 6．已知递增等比数列{an}满足a1＝2，a4＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}为等差数列，且满足b2＝a2－1，b3＝a3，求数列{bn}的通项公式及前10项的和． 解析　(1)设等比数列的公比为q，由已知a1＝2，a4＝16，所以a1·q3＝16，所以q＝2，所以an＝a1·qn－1＝2n，即数列{an}的通项公式为an＝2n. (2)由(1)知an＝2n，所以b2＝a2－1＝22－1＝3，b3＝a3＝×23＝5.设等差数列{bn}的公差为d，则d＝b3－b2＝2，b1＝b2－d＝1，所以bn＝2n－1.设数列{bn}前10项的和为S10，则S10＝10b1＋·d＝10×1＋×2＝100，所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1，数列{bn}前10项的和S10＝100. [关键能力·综合提升] 7．已知数列{an}(n∈N＋)是首项为1的等比数列，设bn＝an＋2n，若数列{bn}也是等比数列，则b1＋b2＋b3＝(　　) A．9 B．21 C．42 D．45 解析　设数列{an}的公比为q，则a2＝q，a3＝q2， 所以b1＝a1＋21＝3，b2＝a2＋22＝q＋4，b3＝a3＋23＝q2＋8.因为数列{bn}也是等比数列，所以(q＋4)2＝3(q2＋8)，解得q＝2.当q＝2时，an＝2n－1，bn＝3·2n－1，符合题意，故q＝2.所以b1＋b2＋b3＝3＋6＋12＝21. 答案　B 8．(多选题)已知数列{an}是等比数列，下列结论正确的是(　　) A．若a1a2>0，则a2a3>0 B．若a1＋a3>0，则a1＋a2<0 C．若a2>a1>0，则a1＋a3>2a2 D．若a1a2<0，则(a2－a1)(a2－a3)<0 解析　数列{an}是等比数列，对于A，a1a2>0，即aq>0，可得q>0，则a2a3＝aq3>0，故A正确；对于B，a1＋a3＝a1(1＋q2)>0，可得a1>0，由于a1＋a2＝a1(1＋q)，当q<－1时，a1＋a2<0，当q≥－1时，a1＋a2≥0，故B不正确；对于C，a2>a1>0，可得q>1，所以a1＋a3－2a2＝a1(1－2q＋q2)＝a1(1－q)2＞0，故a1＋a3＞2a2，C正确；对于D，由a1a2＜0，可得aq＜0，可得q<0，所以(a2－a1)(a2－a3)＝a(q－1)(q－q2)＝－aq(q－1)2＞0，故D不正确． 答案　AC 9．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形……这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于____________平方厘米． 解析　这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N＋)， 则第10个正方形的面积S＝a＝22·29＝211＝2 048. 答案　2 048 10．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S1＋1，S3，S4成等差数列，且a1，a