第1章 3.1 第1课时 等比数列的概念及其通项公式（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则下列结论不正确的是(　　) A．数列{anan＋1}是公比为q的等比数列 B．数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列 C．数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列 D．数列是公比为的等比数列 解析　对于A，由＝q2(n≥2)知{anan＋1}是公比为q2的等比数列；对于B，若q＝－1，{an＋an＋1}各项均为0，不是等比数列；对于C，若q＝1，数列{an－an＋1}各项均为0，不是等比数列；对于D，＝＝，所以数列是公比为的等比数列．故选ABC. 答案　ABC 2．在正项等比数列{an}中，a3＝2，a4a6＝64，则的值是(　　) A．4　　　　　　 B．8 C．16 D．64 解析　设正项等比数列{an}的公比为q. 因为a3＝2，a4a6＝64， 所以a1q2＝2，aq8＝64， 解得q2＝4，则＝42＝16. 答案　C 3．已知数列是公比为的等比数列，且a2＝4，则a6＝(　　) A．64　　 B．32　　　 C.　　　 D. 解析　根据题意，数列是公比为的等比数列，即＝，变形可得＝2，则数列{an}是公比为2的等比数列． 因为a2＝4，所以a6＝a2q4＝64. 答案　A 4．若数列{an}为等比数列，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝4，则a9＋a10＝____________. 解析　因为a1＋a2＝a1(1＋q)＝1，① a3＋a4＝a1q2(1＋q)＝4，② ∴由①②得q2＝4，∴或 所以a9＋a10＝a1q8(1＋q)＝28. 答案　28(或256) 5．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，则{an}的通项公式为____________． 解析　设等比数列的公比为q，则q≠0， a2＝＝，a4＝a3q＝2q， 所以＋2q＝，解得q1＝，q2＝3. 当q＝时，a1＝18， 所以an＝18×n－1＝2×33－n. 当q＝3时，a1＝， 所以an＝×3n－1＝2×3n－3. 答案　an＝2×33－n或an＝2×3n－3 6．在等比数列{an}中， (1)已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n； (2)已知an＝625，n＝4，q＝5，求a1. 解析　(1)因为an＝a1qn－1， 所以4·2n－1＝128， 所以2n－1＝32，所以n－1＝5，n＝6. (2)a1＝＝＝5，故a1＝5. [关键能力·综合提升] 7．如果数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为－的等比数列，那么a5＝(　　) A．32 B．64 C．－32 D．－64 解析　由已知得＝(－)n－1， 则＝－，＝(－)2， ＝(－)3，＝(－)4， 以上四式相乘得a5＝(－)1＋2＋3＋4， 解得a5＝32.故选A. 答案　A 8．已知数列{an＋2n}是等比数列，且a1＝0，a2＝4，则a6＝(　　) A．1 984 B．1 920 C．992 D．960 A　因为a1＝0，a2＝4， 所以a1＋21＝2，a2＋22＝8， 又数列{an＋2n}是等比数列，故公比q＝4， 所以a6＋26＝2×45＝211， 故a6＝211－26＝1 984. 9．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为____________． 解析　设{an}的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，得a1＝8，q＝，所以an＝n－4(n∈N＋)，即数列为递减数列．当n≤4时，an≥1；当n≥5时，0＜an＜1，所以当n＝3或n＝4时，a1a2…an最大．又a2＝4，a3＝2，a4＝1，所以a1a2…an≤a1a2a3a4＝64. 答案　64 10．(2022·新高考全国Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4. (1)证明：a1＝b1； (2)求集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}中元素的个数． 解析　(1)证明　设等差数列{an}的公差为d， 由a2－b2＝a3－b3，知a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，故d＝2b1， 由a2－b2＝b4－a4，知a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)， 故a1＋d－2b1＝4d－(a1＋3d)，故a1＋d－2b1＝d－a1，整理得a1＝b1，得证． (2)由(1)知d＝2b1＝2a1，由bk＝am＋a1知：b1·2k－1＝a1＋(m－1)·d＋a1， 即b1·2k－1＝b1＋(m－1)·2b1＋b1，即2k－1＝2m， 因为1≤m≤500，故2≤2k－1≤1 000，解得2≤k≤10， 故集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}中元素的个数为9. [学科素养·探索创新] 11．已知数列{an}满足：a1＋a2