第1章 2.2 第2课时 等差数列习题课（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

[必备知识·基础巩固] 1．等差数列{an}的前n项和为Sn，S7－S5＝24，a3＝5，则S7＝(　　) A．25　　　　　　 B．49 C．15 D．40 解析　设等差数列{an}的公差为d. 由等差数列的性质可得： S7－S5＝24＝a6＋a7，a3＝5， 所以2a1＋11d＝24，a1＋2d＝5， 解得a1＝1，d＝2，所以S7＝7＋×2＝49. 答案　B 2．(多选题)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析　因为＝ ＝＝ ＝＝＝7＋， 所以当n取1,2,3,5,11时，符合条件， 所以符合条件的选项为ABD. 答案　ABD 3．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人．”其大意为：“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的比前一天多7人．”在该问题中的1 864人全部派遣到位需要的天数为(　　) A．9 B．16 C．18 D．20 解析　根据题意设每天派出的人数组成数列{an}且该数列是首项a1＝64，公差d＝7的等差数列．设该问题中的1 864人全部派遣到位需要的天数为n，则64n＋×7＝1 864，依次将选项中的n值代入检验，得n＝16满足方程，故选B. 答案　B 4．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝8，则S6＝____________. 解析　由等差数列{an}的前n项和性质可得： S2，S4－S2，S6－S4成等差数列． 所以2(S4－S2)＝S2＋S6－S4， 即2×6＝2＋S6－8，解得S6＝18. 答案　18 5．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，Sn＝m，Sm＝n(n≠m)，则Sm＋n＝____________. 解析　解法一　令Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N＋)， 则 得A(n2－m2)＋B(n－m)＝m－n. 因为n≠m，所以A(n＋m)＋B＝－1， 所以Sm＋n＝A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－m－n. 解法二　不妨设m>n， 则Sm－Sn＝an＋1＋an＋2＋an＋3＋…＋am－1＋am ＝＝n－m， 所以a1＋am＋n＝an＋1＋am＝－2. 所以Sm＋n＝＝－m－n. 答案　－m－n 6．在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22. (1)数列{an}前多少项的和最大？ (2)求{|an|}的前n项和Sn. 解析　(1)由得 所以an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53. 令an＞0，得n＜， 所以当n≤17，n∈N＋时，an＞0； 当n≥18，n∈N＋时，an＜0， 所以数列{an}的前17项和最大． (2)当n≤17时， |a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝－n2＋n. 当n≥18时， |a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an ＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an) ＝2－ ＝n2－n＋884. 所以Sn＝ [关键能力·综合提升] 7．(多选题)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3a8＝5a15，且a1>0，则下列关于数列{an}的描述正确的是(　　) A．a2＋a49＝0 B．数列{Sn}中最大的项是S25 C．公差d>0 D．数列{|an|}也是等差数列 解析　依题意，等差数列{an}中3a8＝5a15， 即3(a1＋7d)＝5(a1＋14d)， 2a1＝－49d，a1＝－d. 由a1>0，得d<0，所以C选项错误． 对于A选项，a2＋a49＝2a1＋49d＝0，所以A选项正确． 对于B选项，an＝a1＋(n－1)d＝－d＋(n－1)d＝d，令an≥0得n－≤0，即n≤.由于n是正整数，所以n≤25，所以数列{Sn}中最大的项是S25，所以B选项正确．对于D选项，由上述分析可知，当1≤n≤25时，an＞0，当n≥26时，an<0，且d<0，所以数列{|an|}的前25项递减，第26项后面递增，不是等差数列，所以D选项错误．故选AB. 答案　AB 8．(多选题)已知首项为正数，公差不为0的等差数列{an}，其前n项和为Sn，则下列说法中正确的是(　　) A．若S10＝0，则S2＋S8＝0 B．若S4＝S12，则使Sn>0的最大的n为15 C．若S15>0，S16<0，则{Sn}中S8最大 D．若S7<S8，则S8<S9 解析　对于A，若S10＝0，则＝＝0.因为数列{an}是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以a5>0，a6<0，那么S2＋S8＝(a1＋a2)＋＝(a1＋a2)＋4