第1章 2.1 第2课时 等差数列的性质及其应用（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

[必备知识·基础巩固] 1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(　　) A．5　　　 B．6　　　 C．8　　　 D．10 解析　由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5， 又因为a1＋a9＝10，即2a5＝10， 所以a5＝5. 答案　A 2．数列{an}满足an＋an＋2＝2an＋1(n∈N＋)，且a1＋a2＋a3＝9，a4＝8，则a5＝(　　) A. B．9 C. D．7 解析　数列{an}满足an＋an＋2＝2an＋1(n∈N＋)，则数列{an}为等差数列， 因为a1＋a2＋a3＝9，a4＝8， 所以3a1＋3d＝9，a1＋3d＝8，所以d＝， 所以a5＝a4＋d＝8＋＝. 解析　A 3．(多选题)下列说法中不正确的是(　　) A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列 B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列 C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列 D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列 解析　因为a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c， 所以2b＋4＝a＋c＋4， 即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)， 所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列，故C正确． 取a＝1，b＝2，c＝3， 则a2＝1，b2＝4，c2＝9不成等差数列，故A不正确． 而log21，log22，log23也不成等差数列，故B不正确． 而21,22,23也不成等差数列，故D不正确． 答案　ABD 4．如果在等差数列{an}中，a4＋a5＋a6＝15，那么a1＋a2＋a3＋…＋a8＋a9＝____________. 解析　因为{an}是等差数列，所以a4＋a6＝2a5， 所以a4＋a5＋a6＝3a5＝15，所以a5＝5， 所以a1＋a2＋a3＋…＋a8＋a9＝(a1＋a9)＋(a2＋a8)＋(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝9a5＝9×5＝45. 答案　45 5．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，若为等差数列，则a11的值为____________． 解析　由已知可得＝，＝是等差数列的第3项和第7项，故其公差d＝＝，由此可得＝＋(11－7)d＝＋4×＝，解得a11＝. 答案　 6．在等差数列－5，－3，－2，－，…的每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列． (1)求新数列的通项公式； (2)28是新数列中的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由． 解析　(1)原数列的公差d＝－3－(－5)＝，所以新数列的公差d′＝d＝，故新数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)＝n－. (2)设28是新数列的第n项，则－＝28，解得n＝45∈N＋，所以28是新数列中的第45项． [关键能力·综合提升] 7．(多选题)已知单调递增的等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则下列各式一定成立的有(　　) A．a1＋a101>0 B．a2＋a100＝0 C．a3＋a100≤0 D．a51＝0 解析　设等差数列{an}的公差为d，易知d>0. 因为等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，且a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a 51，所以a1＋a2＋a3＋…＋a101＝(a1＋a101)＋(a2＋a100)＋…＋(a50＋a52)＋a51＝101a51＝0，所以a51＝0，a1＋a101＝a2＋a100＝2a51＝0，故B，D正确，A错误．又因为a51＝a1＋50d＝0，所以a1＝－50d，所以a3＋a100＝(a1＋2d)＋(a1＋99d)＝2a1＋101d＝2×(－50d)＋101d＝d>0，故C错误． 答案　BD 8．我国古代著作《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分之一．冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸．意思是一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为99分，且冬至时日影长度最大，为1 350分，夏至时日影长度最小，为160分，则立春时日影长度为(　　) A．953分 B．1 052分 C．1 151分 D．1 250分 解析　由题意可知，从冬至到夏至，每个节气的日影长度依次构成等差数列，设该等差数列为{an}，公差为d. 又知冬至时日影长度最大，设为a1＝1 350；夏至时日影长度最小，设为a13＝160. 则a13＝1 350＋12d＝160，解得d＝－＝－99， 所以立春时日影长度为a4＝1 350＋×3＝1 052.故选B. 答案　B 9．若三个数a－4，a＋2,26－2a适当排列后构成递增等差数列，则a的值为____________． 解析　显然a－4＜a＋2， 若a－4，a＋2,26－2a成等差数列，则(a－4)＋(26－2a)＝