第1章 2.1 第1课时 等差数列的概念及其通项公式（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

[必备知识·基础巩固] 1．设{an}是公差为正数的等差数列，若a2＝5，a1a3＝16，则a12＝(　　) A．12　　 　　　　 B．35 C．75 D．90 解析　通解　设{an}的公差为d(d>0)，依题意即 解得 所以a12＝a1＋11d＝35.故选B. 优解　设{an}的公差为d(d>0)，依题意即解得d＝3，所以a12＝a2＋10d＝35.故选B. 答案　B 2．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1(n∈N＋)，则a101的值为(　　) A．52 B．50 C．51 D．49 解析　由已知得an＋1－an＝，n∈N＋，所以数列{an}是首项为2，公差为的等差数列，则an＝2＋(n－1)，a101＝2＋×100＝52.故选A. 答案　A 3．已知数列{an}，c为常数，则下列说法正确的是(　　) A．若{an}是等差数列，则{can}不一定是等差数列 B．若{an}不是等差数列，则{can}一定不是等差数列 C．若{can}是等差数列，则{an}一定是等差数列 D．若{can}不是等差数列，则{an}一定不是等差数列 解析　若{an}是等差数列，则由等差数列的性质可知，{can}一定是等差数列，故A错误． 对于数列{an}：1,2,4,5，令c＝0，则{can}为等差数列；当c为0时，数列{can}0,0,0,0是等差数列，但{an}不是等差数列，故B，C错误．故选D. 答案　D 4．已知{an}为等差数列，且a5－2a2＝1，a3＝－2，则公差d＝____________. 解析　根据题意得： a5－2a2＝a1＋4d－2(a1＋d)＝－a1＋2d＝1，① 又a3＝a1＋2d＝－2，② 由①②联立，得d＝－. 答案　－ 5．已知{an}是等差数列，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝____________. 解析　由题意知 即解得 所以a5＝a1＋4d＝47－32＝15. 答案　15 6．已知在数列{an}中，a1＝1，a3＝4. (1)若数列{an}是等差数列，求a11的值； (2)若数列是等差数列，求数列{an}的通项公式． 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d， 则an＝a1＋(n－1)d. 由题设，2d＝4－1＝3，所以d＝. 所以an＝1＋(n－1)＝－＋， 所以a11＝16. (2)设bn＝，则数列{bn}是等差数列， b1＝，b3＝， 所以2d＝－，即d＝－. 所以bn＝－(n－1)＝， 即＝，所以an＝. [关键能力·综合提升] 7．(多选题)数列{an}是首项为1，公差为d(d∈N＋)的等差数列．若81是该数列中的一项，则公差可能是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析　因为数列{an}是首项为1，公差为d(d∈N＋)的等差数列，所以an＝1＋(n－1)d. 因为81是该数列中的一项，所以81＝1＋(n－1)d， 所以n＝＋1.因为d，n∈N＋， 所以d是80的因数，故d可能是2,4,5，不可能是3.故选ACD. 答案　ACD 8．在等差数列{an}中，a1＝5，a4＋a7＝0，则数列{an}中为正数的项的个数为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析　设数列{an}的公差为d.因为在等差数列{an}中，a1＝5，a4＋a7＝0，所以5＋3d＋5＋6d＝0，解得d＝－，所以an＝5－(n－1)＝－n＋.由an＝－n＋＞0，可得n＜，所以数列{an}中为正数的项的个数为5，故选B. 答案　B 9．在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为____________． 解析　因为＝＋，a1＝8， 所以－＝，＝2， 所以数列{}是以2为首项，为公差的等差数列，所以＝2＋(n－1)×＝(n＋1)， 所以an＝2(n＋1)2. 答案　an＝2(n＋1)2 10．已知等差数列{an}：3,7,11,15，… (1)135,4m＋19(m∈N＋)是{an}中的项吗？试说明理由； (2)若ap，aq(p，q∈N＋)是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是数列{an}中的项吗？并说明你的理由． 解析　a1＝3，d＝4，an＝a1＋(n－1)d＝4n－1. (1)令an＝4n－1＝135，所以n＝34， 所以135是数列{an}中的第34项． 令an＝4n－1＝4m＋19，则n＝m＋5∈N＋， 所以4m＋19是{an}中的第m＋5项． (2)因为ap，aq是{an}中的项， 所以ap＝4p－1，aq＝4q－1. 所以2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1) ＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1. 因为2p＋3q－1∈N＋， 所以2ap＋3aq是{an}中的第2p＋3q－1项． [学科素养·探索创新] 11．已知等差数列{an}的首