第1章 1.2 数列的函数特性（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

[必备知识·基础巩固] 1．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－，则此数列为(　　) A．递增数列　　　　　 B．递减数列 C．常数列 D．以上答案都不对 解析　由an＝2n－，可得an＋1－an＝2，故此数列为递增数列． 答案　A 2．(多选题)数列{an}的通项公式为an＝2n2－22n，则数列{an}各项中最小项是(　　) A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 解析　an＝2n2－22n＝22－， 故当n＝5或n＝6时， an的值最小，最小值为a5＝a6＝－60. 答案　BC 3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－λn(λ∈R)．若{an}为递增数列，则实数λ的取值范围是(　　) A．(－∞，3) B．(－∞，2) C．(－∞，1) D．(－∞，0) 解析　因为数列{an}是递增数列，且数列{an}的通项公式为an＝n2－λn(λ∈R)，所以an＋1－an＝(n＋1)2－λ(n＋1)－(n2－λn)＝2n＋1－λ>0恒成立． 因为2n＋1－λ的最小值是2×1＋1－λ＝3－λ>0，所以λ<3，即实数λ的取值范围是(－∞，3)．故选A. 答案　A 4．已知数列{an}的通项公式为an＝n－，则an的最小值为____________． 解析　因为an＝n－＝＝－，易知数列{an}为递增数列，则数列{an}的最小项为a1，即最小值为1－. 答案　1－ 5．数列{(25－2n)2n－1}的最大项的项数为____________． 解析　令an＝(25－2n)2n－1，当n≥2时，设an为最大项，则即解得≤n≤.因为n∈N＋，所以n＝11.又当n＝1时，a1＝23＜42＝a2，所以数列{(25－2n)·2n－1}的最大项的项数为11. 答案　11 6．已知数列{an}满足an＝＋＋＋…＋. (1)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？ (2)证明：an≥对一切正整数恒成立． 解析　(1)数列{an}是递增数列． 理由如下：因为an＝＋＋＋…＋， 所以an＋1－an＝＋－ ＝－＝. 又n∈N＋，所以an＋1－an＞0. 所以数列{an}是递增数列． (2)证明　由(1)知数列{an}为递增数列， 所以数列{an}的最小项为a1＝. 所以an≥a1＝， 即an≥对一切正整数恒成立． [关键能力·综合提升] 7．在数列{an}中，“|an＋1|＞an”是“数列{an}为递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析　“|an＋1|＞an”⇔an＋1＞an或－an＋1＞an，充分性不成立；数列{an}为递增数列⇔|an＋1|≥an＋1＞an成立，必要性成立，所以“|an＋1|＞an”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件．故选B. 答案　B 8．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，则在数列{an}的前30项中，最大项和最小项分别是(　　) A．a30，a1 B．a1，a30 C．a10，a9 D．a10，a30 解析　an＝＝1＋. 当n≥10时，an＞1且an随n的增大而减小， 此时a10最大； 当1≤n＜10时，an＜1且an随n的增大而减小，此时a9最小． 综上，a9最小，a10最大． 答案　C 9．数列{an}的通项公式为an＝其中n∈N＋，若a5是{an}中的最大值，则a的取值范围是____________． 解析　当n≤4时，an＝2n－1单调递增，因此n＝4时取最大值，a4＝24－1＝15. 当n≥5时，an＝－n2＋(a－1)n＝－2＋. 因为a5是{an}中的最大值， 所以解得9≤a≤12， 所以a的取值范围是[9,12]． 答案　[9,12] 10．已知在数列{an}中，an＝1＋(n∈N＋，a∈R且a≠0)． (1) 若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立，求实数a的取值范围． 解析　(1)解法一　因为a＝－7， 所以an＝1＋. 结合函数f(x)＝1＋的单调性， 可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N＋)， 所以数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0. 解法二　因为a＝－7，所以an＝1＋. 设数列中的最大项为an，则 (n≥2且n∈N＋)， 即 解得＜n＜. 又n≥2且n∈N＋，所以n＝5，即数列{an}中的最大项为a5＝2. 同理可得，数列{an}中的最小项为a4＝0. (2)an＝1＋＝1＋. 因为对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立， 所以结合函数f(x)＝1＋的单调性， 知5＜＜6， 所以－10＜a＜－8. 故实数a的取值范围为(－10，－8)． [学科素养·探索创新] 11．(多选题)