第1章 1.1 数列的概念（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列命题中正确的是(　　) A．任何数列都有通项公式 B．给定了一个数列的通项公式就给定了这个数列 C．给出了数列的有限项就可唯一确定这个数列的通项公式 D．数列的通项公式an是项数n的函数 解析　对于A，根据数列的表示方法可知，不是任何数列都有通项公式，比如：π的近似值构成的数列3,3.1,3.14,3.141，…就没有通项公式，所以A错误；对于B，根据数列的表示方法可知B正确；对于C，给出了数列的有限项，数列的通项公式形式不一定唯一，比如：1，－1,1，－1，…，其通项公式既可以写成an＝(－1)n＋1，也可以写成an＝(－1)n－1，所以C错误；对于D，根据数列通项公式的概念可知D正确． 答案　BD 2．(多选题)一个无穷数列的前三项是1,2,3，下列可以作为其通项公式的是(　　) A．an＝n　　　　　 B．an＝n3－6n2＋12n－6 C．an＝n2－n＋1 D．an＝ 解析　根据题意，依次分析选项： 对于A.若an＝n，则有a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意； 对于B.若an＝n3－6n2＋12n－6， 则有a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意； 对于C.若an＝n2－n＋1， 当n＝3时，a3＝4≠3，不符合题意； 对于D.若an＝， 则有a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意，故选A，B，D. 答案　ABD 3．数列，－，，－，…的一个通项公式为(　　) A．an＝(－1)n· B．an＝(－1)n· C．an＝(－1)n＋1· D．an＝(－1)n＋1· 解析　根据分子、分母还有正负号的变化，可知an＝(－1)n＋1·.故选D. 答案　D 4．已知数列，3，，…，，那么9是数列的第____________项． 解析　令＝9，解之得n＝14. 由此可知9是此数列的第14项． 答案　14 5．已知数列{an}为－，3，－3，9，…，则a6的值为____________，数列的一个通项公式是____________． 解析　把数列的前4项统一形式后为－，，－，，可知a6＝＝27，数列的一个通项公式为an＝(－1)n. 答案　27　an＝(－1)n 6．在数列{an}中，a1＝3，a17＝67，通项公式是关于n的一次函数． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求a2 020； (3)2 023是否为数列{an}中的项？若是，为第几项？ 解析　(1)设an＝kn＋b(k≠0)，则有 解得k＝4，b＝－1.所以an＝4n－1. (2)a2 020＝4×2 020－1＝8 079. (3)令2 023＝4n－1，解得n＝506∈N＋， 所以2 023是数列{an}的第506项． [关键能力·综合提升] 7．已知数列{an}的通项公式是an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是(　　) A. B．5 C．6 D． 解析　a1·a2·a3·…·a30＝log2 3×log3 4×log4 5×…×log31 32＝××…×＝＝log2 32＝log2 25＝5. 答案　B 8．已知数列{an}的通项公式是an＝则a2a3＝____________. 解析　根据通项公式可得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2a3＝2×10＝20. 答案　20 9．正项数列{an}满足a－(2n－1)an－2n＝0，则数列{an}的通项公式为an＝____________，a2n＋1＝____________. 解析　由a－(2n－1)an－2n＝0，得(an－2n)(an＋1)＝0， 因为{an}为正项数列，所以an＝2n. 故a2n＋1＝2(2n＋1)＝4n＋2. 答案　2n　4n＋2 10．已知数列. (1)求这个数列的第10项； (2)是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)上． 解析　设an＝＝＝. (1)令n＝10，得第10项a10＝. (2)令＝，得9n＝300.此方程无正整数解，所以不是该数列中的项． (3)证明　因为an＝＝＝1－，又n∈N＋，所以0＜＜1， 所以0＜an＜1.即数列中的各项都在区间(0,1)上． [学科素养·探索创新] 11．已知数列1，，，，，，，，，，…，则是该数列的(　　) A．第127项 B．第128项 C．第129项 D．第130项 解析　将该数列的第一项1写成，再将该数列分组，第一组1项：；第二组2项：，；第三组3项：，，；第四组4项：，，，；……容易发现，每组中各个分数的分子与分母之和均 为该组序号加1，且从第二组起每组的分子从1开始依次增加1，因此应位于第十六组的第八位．由1＋2＋…＋15＋8＝128，得是该数列的第128项． 答案　B 学科网（北京）股份有限公司 $