2023年九年级数学中考专题复习：二次函数综合压轴题（特殊三角形问题）

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（特殊三角形问题） 1．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)抛物线顶点M的坐标__________（用含m的代数式表示），A，B的坐标分别是A（__________），B（__________）； (2)求的面积（用含m的代数式表示）； (3)是否存在使为直角三角形的抛物线？若存在，直接写出抛物线的表达式，若不存在，请说明理由． 2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的负半轴相交于点． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)如图2，点P为线段上的点，且点P的横坐标为m，过P作y轴的平行线交抛物线于M，连接． ①当是为腰的等腰三角形时，求的长； ②若抛物线顶点D在以为邻边的平行四边形的形内（不含边界），求m的取值范围． 3．已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式和顶点D的坐标． (2)已知点P是x轴上的一点，连接． ①如图1，当点P在线段上时，以为底边向右侧作等腰，若点Q恰好在抛物线上，求点Q的横坐标； ②如图2，作点P关于直线的对称点，连接，，当是直角三角形时，求点P的坐标． 4．综合与探究 如图二次函数与直线交于A、C两点，已知：，二次函数的图象与x轴的另一个交点为点B，点D在直线上方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交于点E． (1)求直线与抛物线的解析式； (2)求线段的最大值，及此时点D的坐标． (3)在x轴上找一点P，使为等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 5．如图，抛物线与直线交于，两点，且点是它的顶点，在轴上有一点． (1)求出抛物线的解析式及直线的解析式； (2)点在直线上运动，若是等腰三角形时，求点的坐标； (3)设点是抛物线上一动点，若，求点的坐标． 6．抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)过点O垂直于的直线与抛物线交于点M，求点M的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在抛物线上，是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 7．已知抛物线经过、、，直线是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式及顶点坐标； (2)设点是直线上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，．M为线段上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q． (1)求抛物线的表达式； (2)过点P作，垂足为点N．设M点的坐标为，请用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时有最大值，最大值是多少？此时的值是多少？ (3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，已知抛物线的图象与x轴交于和点B且．（点A在点B的右侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点F是直线下方抛物线上的一点，当的面积最大时，请求出点F的坐标； (3)在（2）的条件下，是否存在这样的点，使得为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由． 10．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，． (1)求抛物线解析式； (2)是轴上一动点，过点作轴交于点，交直线于点，交抛物线于点，连接． ①点在线段上运动，当线段的长度最大时，求点的坐标； ②点在线段上运动，若是等腰三角形时，求点的坐标． 11．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点是线段上方抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点运动到什么位置时，的面积最大？ (3)过点作轴的垂线，交线段于点，再过点作轴交抛物线于点，连接．是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，，．为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作，垂足为点．设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？此时的值是多少？ (3)试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，已知在直角坐标系中，抛物线与轴交于点，顶点为．其对称轴交轴于点，点在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧． (1)当时，求抛物线的表达式； (2)在（1）的条件下，当时，求点的坐标； (3)点在对称轴上，且，求的面积． 14．如图二次函