2023年九年级数学中考专题：猜想与证明压轴题

2023年九年级数学中考专题：猜想与证明压轴题 1．综合与实践 问题情境：如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，连接并延长交于点F． 猜想验证： (1)试猜想与是否相似？并证明你的猜想． 探究证明： (2)如图，连接交于点H，与相交于点G，是否成立？并说明理由． 拓展延伸： (3)若，直接写出的值． 2．在中，，，．将绕点B逆时针旋转（）得到，点A，点C旋转后的对应点分别为点，点． (1)如图1，当点恰好为线段的中点时，______°，______； (2)当线段与线段有交点时，记交点为点D． ①在图2中补全图形，猜想线段与的数量关系并加以证明； ②连接，请直接写出的长的取值范围． 3．已知四边形中，，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E、F． (1)当 绕B点旋转到时（如图1），求证：． (2)当绕B点旋转到时，在图2种情况下，求证：． (3)当绕B点旋转到时，在图3种情况下上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 4．图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图（1），已知和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，且． (1)观察猜想 小华将绕点逆时针旋转，连接，，如图（2），当的延长线恰好经过点时： ①的值为________； ②的度数为________度； (2)类比探究 如图（3），小芳在小华的基础上继续旋转，连接，，设的延长线交于点，（1）中的两个结论是否仍然成立?请说明理由． (3)拓展延伸 若，，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长． 5．已知是边长为4的等边三角形，点D是射线上的动点，将绕点A逆时针方向旋转60°得到，连接． (1)如图1，猜想是什么三角形？　　；（直接写出结果） (2)如图2，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (3)当为何值时，，请说明理由． 6．如图1，在等腰Rt中，，点D、E分别在边、上，，连接，点M、P、N分别为、、的中点． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，求面积的最大值． 7．综合与实践 某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)[材料理解]如图1，在中，分别以，为边向外作等腰和等腰．，，，连接，，试猜想与的大小关系，并说明理由； (2)[深入探究]如图2，在中，，，，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，求的长． (3)[延伸应用]如图3，在中，，点D为平面内一点，连接，，满足，，，，求的长． 8．（1）如图1，等腰的直角顶点在正方形的边上，斜边交于点Q，连接，求证：．请利用现在所学的旋转知识，可将旋转到，然后通过证明全等三角形来完成证明． （2）如图2，若等腰的直角顶点在正方形的边的延长线上，斜边的延长线交的延长线于点Q，连接，猜想线段，，满足怎样的数量关系？并证明你的结论； （3）如图3，中，，，P为内部一点，且，则___________． 9．已知△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E是直线AD上的动点，将BE绕点B顺时针方向旋转得到BF，连接EF、CF、AF． (1)如图1，当点E在线段AD上时，猜想∠AFC和∠FAC的数量关系；（直接写出结果） (2)如图2，当点E在线段AD的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论，若不成立，请写出你的结论，并证明你的结论； (3)点E在直线AD上运动，当△ACF是等腰直角三角形时，请直接写出∠EBC的度数． 10．如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG，易证BG=AE且BG⊥AE． (1)如图2，将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤90°），试猜想线段BG和AE的数量关系和位置关系，并说明理由． (2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（900＜α≤3600）， ①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图3证明你的结论； ②若BC=DE=6，当AE取最大值时，求AF的值及此时α的度数． 11．已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD绕点A逆时针方向旋转60°得到AE，连接DE． (1)如图1，猜想△ADE是什么三角形？　 　；（直接写出结果） (2)如图2，点D在射线CB上