精品解析：湖南省衡阳市衡阳县第四中学2022-2023学年高二下学期开学模拟考试数学试卷 （创新班）

衡阳县四中2022-2023学年高二下学期开学模拟考试 数学试卷（创新班） 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 2. 已知P是圆上动点，直线，则点P到直线l距离的最小值为（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 3. 现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ） A. 7种 B. 9种 C. 14种 D. 70种 4. 如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点是底面圆周上的一点，且，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 5. 在正项等比数列中，，且是和的等差中项，则（ ） A. 8 B. 6 C. 3 D. 6. 若函数（e为自然对数的底数）的图象上存在四个关于y轴对称的点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则= A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 设椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，以为直径的圆与在第一象限的交点为，则直线的斜率为 A. B. C. D. 二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 已知等比数列公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 单调递增数列 B. C. ，，成等比数列 D. 10. 已知正方体的棱长为1，点分别是的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点到直线的距离是 B. 点到平面的距离为 C. 点到直线的距离为 D. 平面与平面间的距离为 11. 已知函数，若函数图象在处切线的斜率为3e，则下列结论中正确的是（ ） A B. 有极大值 C. 有最大值 D. 有最小值0 12. 已知点P为双曲线所在平面内一点，分别为C的左、右焦点，，线段分别交双曲线于两点，， ．设双曲线的离心率为e，则下列说法正确的有（ ） A. 若平行于渐近线，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 的展开式中的系数为________（用数字作答）． 14. 已知数列的通项公式为，且为严格单调递增数列，则实数的取值范围是___________ 15. 若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为_________． 16. 如图，在正四棱锥中，，点为的中点，．若，则实数_____ 四、解答题（共6小题，其中第17题10分，其余各题每题12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知数列的前n项和． （1）求的通项公式； （2）若数列的前n项和，求数列的前n项和． 18. 如图，在棱柱中，平面ABCD，四边形ABCD是菱形，，点N为AD的中点，且. （1）设M是线段上一点，且.试问：是否存在点M，使得直线平面MNC？若存在，请证明平面MNC，并求出值；若不存在，请说明理由； （2）求二面角的余弦值. 19. 根据调查，某学校开设了“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团，三个社团参加的人数如下表所示： 社团 街舞 围棋 武术 人数 320 240 200 为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，已知从“围棋”社团抽取的同学比从“街舞”社团抽取的同学少2人. （1）求三个社团分别抽取了多少同学； （2）若从“围棋”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知“围棋”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率． 20. 已知分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4． （1）求椭圆C的标准方程 （2）若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 21. 已知抛物线，拋物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3． （1）求抛物线C的方程及其准线方程； （2）过直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线于点E，直线BF交直线于点D，是否存在这样的直线l，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l的方程． 22. 已知函数． （1）若恒成立，求a的取值范围； （2）若函数存在两个极值点，且恒成立，求的取值范