2023年九年级中考数学巩固训练——垂径定理

2023年中考数学巩固训练——垂径定理 一、综合题 1.如图,在梯形ABCD中,CDAB,AB=10,以AB为直径的⊙O经过点C、D,且点C、D三等分弧AB. (1)求CD的长; (2)已知点E是劣弧DC的中点,联结OE交边CD于点F,求EF的长. 2.如图,AB为⊙O的直径,射线AP交⊙O于C点,∠PCO的平分线交⊙O于D点,过点D作 交AP于E点. (1)求证:DE为⊙O的切线; (2)若DE=3,AC=8,求直径AB的长. 3.阅读以下材料,并按要求完成相应的任务. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题:今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?用现在的数学语言表达是:如图, 为 的直径,弦 ,垂足为 , 寸, 尺,其中1尺 寸,求出直径 的长. 解题过程如下: 连接 ,设 寸,则 寸. ∵ 尺,∴ 寸. 在 中, ,即 ,解得 , ∴ 寸. 任务: (1)上述解题过程运用了 定理和 定理. (2)若原题改为已知 寸, 尺,请根据上述解题思路,求直径 的长. (3)若继续往下锯,当锯到 时,弦 所对圆周角的度数为 . 4.如图,已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直,垂足为点E.且AD=5,. (1)求弦CD的长; (2)求⊙O的半径. 5.如图,已知AB是⊙O的直径,AC,BC是⊙O的弦,OE∥AC交BC于E,过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D,连接DC并延长交BA的延长线于点F. (1)求证:DC是⊙O的切线; (2)若∠ABC=30°,AB=8,求线段CF的长. 6.四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,弧AD=弧CD.过点D作⊙O的切线,交BC延长线于点P. (1)求证∠P=90°; (2)若tan∠CDP= ,PC=4,求BC的长. 7.如图, 内接于 , 是 的直径, 与 交于点E,点P是 延长线上的一点, ,且 . (1)求证: 是 的切线; (2)若 ,点B等分半圆 ,求 的长. 8.如图,点O在△ABC的BC边上,⊙O经过点A、C,且与BC相交于点D.点E是下半圆弧的中点,连接AE交BC于点F,已知AB=BF. (1)求证:AB是⊙O的切线; (2)若OC=3,OF=1,求cos∠B的值. 9.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点H,点F是 上一点,连接AF交CD的延长线于点E. (1)求证:△AFC∽△ACE; (2)若AC=5,DC=6,当点F为 的中点时,求AF的值. 10.如图,在 中, ,以 为直径的 与边 交于点 ,过点 作 ,垂足为点 , 的反向延长线交 与点 . (1)求证: 是 的切线; (2)若圆的半径为10, ,求 的长. 11.在 中, , ,经过 , 的 与 边另一个公共点为 ,与 边另一个公共点为 ,连接 . (1)如图①,若 , ,求 的半径; (2)如图②,作 ,交 边于点 .求证:直线 与 相切. 12.如图,AB为⊙O的直径,CD为弦,CD⊥AB于点E,连接DO并延长交⊙O于点F,连接AF交CD于点G,CG=AG,连接AC. (1)求证:AC∥DF; (2)若AB=12,求AC和GD的长. 13.如图1,在平面直角坐标系中,点A(﹣4,0),点B是y轴正半轴上一点,以AB为直径作⊙M,A与C关于y轴对称,直线CM交⊙M于点D,E(点E在左侧),交y轴于点F.设OB=a. (1)求M的坐标(用a的代数式表示)和AC的长. (2)若E是半圆AB的中点,求点E的坐标. (3)如图2,过点A作AG∥CE交y轴于点G,连结BD并延长交AG延长线于点K. ①试说明△ABK是等腰三角形. ②当点G为AK中点时,求a的值. 14. (1)问题提出:如图1,已知是边长为2的等边三角形,则的面积为 . (2)问题探究:如图2,在中,已知,,求的最大面积. (3)问题解决:如图3,某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD,其宽米,长米,为了能够监控到礼堂内部情况,现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测,并且要求能观测到礼堂前端墙面AB区域,同时为了观测效果达到最佳,还需要从点M出发的观测角.请你通过所学的知识进行分析,在墙面CD区域上是否存在点M满足要求?若存在,求出MC的长度;若不存在,请说明理由. 15.如图,在 中, ,以 为直径的 交 边于点 , 为 中点,连接 . (1)求证: 与 相切; (2) 为 的中点,连接 , ,若 , ,求劣弧 的长. 16.如图, 是 的直径,弦 是 延长线上的一点,连结 交 于点 ,连结 . (1)若 的度数是40°,求 的度数; (2)求证: 平分 ; (3)若 经过圆心,求 的长. 答案解析部分 1.【答案】(1)解:连接OC,OD, ∵AB为直径,点C、D三等分弧AB, ∴