6.2.3向量的数乘运算课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.3 向量的数乘运算 2 3.向量减法三角形法则: 1、向量加法法则：     A B C   三角形法则：首尾连，起指终   A B O C     平行四边形法则：共起点, 指对角 A B O       A B C D         “共起点，连终点，指被减 -a a a -a a a -a -a -3a的方向与a的方向相反，-3a的长度是a的长度的3倍，即|-3a|=3|a|． 探究 已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，它们的长度和方向是怎样的？ O B =3a =-3a O A 探究新知 3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，即|3a|=3|a|． 向量的数乘的运算结果仍然是向量. 特别地，当λ=0时，λa =0．当λ=-1时，λa =-a （2）方向：当λ>0时，λa的方向与 a方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a方向相反； （1）长度： |λa|=|λ|·|a| 定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘(multiplication of vector by scalar)，记作λa． 探究新知 向量的数乘 几何意义：将a沿着相同或相反方向伸长或压缩到原来的|λ|倍．       A B C ①λ(μa)=(λμ)a 设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有： ②(λμ)a=λaμa ③λ(ab)=λaλb 结合律 第一分配律 第二分配律 探究新知 向量数乘运算的运算律 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有 λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b． 向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 线性运算的结果仍为向量 6 例1.计算： 解: 注：向量与实数之间可以像多项式一样进行运算. 典例分析 A B C M D 典例分析 【例3】 在△ABC中. 向量的中线定理 3. 这样的实数有几个？ 思考：为什么强调a≠0？ （1）若a=b=0，λ∈R （2）若a=0，b≠0，则λ不存在. 探究新知 向量共线定理 思考：向量a与b不共线，但满足μb=λa，这说明什么？ 思考：b可以等于吗？ 可以，λ=0. 个非零向量， （1）判断与是否共线？ （2）设与共线，求的值？ 15 例1 已知, 是两个不共线的向量, 向量, 共线, 求实数t的值. 解：由, 不共线, 易知向量为非零向量. 由向量, 共线, 否则, 不妨设, 则= ,由两个向量共线的充要条件知, 共线, 这与已知条件相矛盾. 可知存在实数λ, 使得 = 即=. 由于, 不共线, 必有==0 . 对于两个非零向量, 只有共线, 它们的和或差才有可能为零向量. 因此, 当向量, 共线时, . 16 由 解得 . 解：由, 不共线, 易知向量为非零向量. 由向量, 共线, 否则, 不妨设, 则= ,由两个向量共线的充要条件知, 共线, 这与已知条件相矛盾. 可知存在实数λ, 使得 = 即=. 由于, 不共线, 必有==0 . 对于两个非零向量, 只有共线, 它们的和或差才有可能为零向量. 若，则A, B, C有什么关系？ 个非零向量， （1）判断与是否共线？ （2）设与共线，求的值？ O A B C 3 2 典例分析 例2 如图，已知任意两个非零向量 试作 你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？ 解： 因为 又AC与AB又公共点A，因此A、B、C三点共线. 向量共线定理可以证明三点共线问题 18 推论： 设O, A, B是不共线的三点，A, B, C共线的充要条件是： 存在唯一的实数，使得 例2.设O、A、B、C是平面内的四个点, . 证明：若 ，则A、B、C三点共线，反之亦然. 证明： （1）若 由 得 即 故 A、B、C三点共线. （2）若A、B、C三点共线， 则存在非零常数λ， 使得 即 令 则 故当 A、B、C三点共线时， 21 与不在同一直线上 直线AB∥直线CD 2. 证明 三点共线: =λ 一、 向量共线定理 与共线 向量与共线充要条件是： 存在唯一一个实数λ, 当λ>0时，与共线同向；当λ<0时，与共线反向. 若与不共线,且λ=, 则必有λ==0. 二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 3. 证明 两直线平行: =λ // 使得=λ. A, B, C三点共线 (1)若D是BC边