5.3.1函数的单调性（第一课时）课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章一元函数的导数及其应用 5.3.1函数的单调性（第一课时） 李思 2022 目录 CONTENTS 知识回顾 课堂总结 典型例题 函数的单调性 01 02 03 04 RART 01 知识回顾 知识回顾 1.函数单调性的定义是什么？ 对于给定区间D上的函数f(x)，若对于属于区间D的任意两个自变量的值x1，x2， 当x1<x2时， 若f(x1)<f(x2)，那么f(x)在这个区间上是增函数. 若f(x1)>f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数. 在必修第一册中， 我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性质. 在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数定量地刻画了函数的局部变化. 能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢? 本节我们就来讨论这个问题. RART 02 函数的单调性与导数 函数的单调性 思考：观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系. x y O y＝x (1) x y O y＝x2 (2) x y O y＝x3 (3) x y O (4) y＝x-1 函数的单调性 思考：观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系. x y O y＝x (1) 在(-∞, +∞)上， f (x)单调递增 在(-∞, +∞)上，f ′ (x)>0 x y O y′＝1 函数的单调性 思考：观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系. x y O y＝x2 (2) 在(-∞, 0)上， f (x)单调递减 在(-∞, 0)上， f ′ (x)<0 在(0, +∞)上， f (x)单调递增 在(0, +∞)上，f ′ (x)>0 x y O y′＝2x 函数的单调性 思考：观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系. x y O y＝x3 (3) 在(-∞, 0)上， f (x)单调递增 在(-∞, 0)上， f ′ (x)>0 在(0, +∞)上， f (x)单调递增 在(0, +∞)上，f ′ (x)>0 x y O y′＝3x2 函数的单调性 思考：观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系. x y O (4) y＝x-1 在(-∞, 0)上， f (x)单调递减 在(-∞, 0)上， f ′ (x)<0 在(0, +∞)上， f (x)单调递减 在(0, +∞)上，f ′ (x)<0 x y O y′＝-x-2 函数的单调性与导数的正负的关系 如图示，导数f'(x0)表示函数y=f(x)的图象在点(x0, f(x0))处的切线的斜率， 可以发现: 在x=x0处，f'(x0)>0，切线是“左下右上”的上升式， 函数f(x)的图象也是上升的， 函数f(x)在x=x0附近单调递增； 在x=x1处，f'(x1)<0，切线是“左上右下”的下降式， 函数f(x)的图象也是下降的， 函数f(x)在x=x1附近单调递减. x y O (x0, f(x0)) (x1, f(x1)) 函数的单调性与导数的正负的关系 一般地，函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间具有如下的关系： 在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)>0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递增； 在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)<0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递减. 思考：如果在某个区间上恒有f ′(x)=0，那么函数f (x)有什么特性？ 在某个区间上恒有f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是常函数． 注意：若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0， 则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)。 函数与导函数图象的关系 C 利用导数判断函数的单调性 典例2：利用导数判断下列函数的单调性 x y O (1) x y O (2) π -π 利用导数判断函数的单调性 x y O (3) 1 1 判定函数单调性的步骤： ① 求出函数的定义域； ② 求出函数的导数f (x)； ③ 判定导数f (x)的符号； ④ 确定函数f(x)的单调性. RART 03 典型例题 利用导数判断不含参函数的单调性 例1：求下列函数的单调区间 利用导数判断不含参函数的单调性 例1：求下列函数的单调区间 利用导数判断不含参函数的单调性 例1：求下列函数的单调区间 利用导数判断含参函数的单调性 利用导数判断含参函数的单调性 利用导数判断含参函数的单调性 已知函数单调性求参数范围 函数的单调性 导数 单调递增 f′(x)≥0且f′(x)不恒为0 单调递减 f′(x)