2023年九年级中考数学复习讲义 三角形及其全等

2023年中考数学复习讲义 三角形及其全等 第一部分：知识点精准记忆 一、三角形的基础知识 1.三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形． 2.三角形的三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边． 推论：三角形的两边之差小于第三边． （2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系． 3.三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 4.三角形中的重要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线． （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线． （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）． （4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边一半． 二、全等三角形 1.三角形全等的判定定理： （1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； （2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； （3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； （4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； （5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2.全等三角形的性质： （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等； （2）全等三角形的周长相等，面积相等； （3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等． 三、线段垂直平分线与角平分线 1.线段的轴对称性：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴． 2.定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 注：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 3.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 注：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来． 4.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴． 5.性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 第二部分：考点典例剖析 考点一： 三角形的三边关系 【例1-1】（2021·广西柳州市·中考真题）若长度分别为3，4，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是________．（写出一个即可） 【例1-2】（2021·江苏淮安·中考真题）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是___． 考点二： 三角形的内角和外角 【例2-1】（2021·河北中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应___________（填“增加”或“减少”）___________度． 【例2-2】（2021·江苏宿迁市·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=70°，∠C=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是（ ） A．30° B．40° C．50° D．60° 【例2-3】（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在中，，点D，E分別在边AB，AC上，，连结CD，BE．（1）若，求，的度数．（2）写出与之间的关系，并说明理由． 考点三：三角形中的重要线段 【例3-1】（2022•大庆）下列说法不正确的是　　 A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形 B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形 C．有两个角互余的三角形是直角三角形 D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形 【例3-2】（2021·江苏泰州市·中考模拟）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例3-3】如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（ ） A． B．AD一定经过的重心 C． D．AD一定经过的外心 考点四： 垂直平分线与角平分线的性质 【例4-