精品解析：河南省洛阳市栾川县第一高级中学2022-2023学年高三下学期入学测试数学试题

2023届高三下期入学数学测试题 一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则复数的模是（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数有两个不同零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数．若，，．则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 若曲线与曲线存在公切线，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 6. 函数和（，，）的部分图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，有如下命题： ①将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象； ②将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象； ③与的图象关于直线对称； ④与的图象关于直线对称， 则上述命题中正确的序号是（ ） A. ②③ B. ②④ C. ①③ D. ①④ 8. 已知AB是的直径，C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，设，则（ ） A. B. C. D. 9. 在正项数列中，，前项和满足，则（ ） A. 72 B. 80 C. 90 D. 82 10. 已知是函数的导函数，若，则（    ） A. B. 2 C. D. 8 11. 已知O为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且的最小值为6，下列错误的是（ ） A. 该双曲线的方程为 B. 若，则直线PQ的斜率为 C. 的最小值为25 D. 面积的最小值为12 12. 某市有四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览的概率为，游览的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．用随机变量表示该游客游览的景点个数，错误的是（ ） A. 该游客至多游览一个景点的概率为 B. C D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 复数z的虚部为，在复平面内复数z对应的向量的模为2，则复数_______________. 14. 若的展开式中的系数为9，则a的值为______． 15. 已知、是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且，若的面积为9，则b=______． 16. 在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，平面ABC，．M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为______． 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列是等差数列：②数列是等差数列；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 18. 已知的内角所对的边分别为，且满足． （1）求角B的大小； （2）若，设面积为S，满足，求b的值． 19. 如图，在三棱柱中，平面，，. （1）求证：平面； （2）点在线段上，且，点在线段上，若平面，求的值. 20. 国家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文、理科，采用模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物门科目中自选门参加考试（选），每科目满分分．为了应对新高考，某高中从高一年级名学生（其中男生人，女生人）中，采用分层随机抽样的方法从中抽取名学生进行调查． （1）已知抽取的名学生中有女生人，求的值及抽取到的男生人数； （2）学校计划在高一上学期开设选修中的物理和地理两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调查（假设每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的列联表．请将列联表补充完整，并判断是否有把握认为选择科目与性别有关，说明理由； （3）在抽取的选择地理的学生中用分层随机抽样的方法再抽取名学生，然后从这名学生中抽取名学生了解学生对地理的选课意向情况，求名学生中至少有名男生的概率． 选择物理 选择地理 总计 男生 女生 总计 参考数据及公式： ，其中． 21. 已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于､两点. （1）求双曲线的方程； （2）若过原点，为双曲线上异于､的一点，且直线､的斜率､均存在，求证：为定值； （3）若过双曲线右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？