2023年中考数学复习 第九讲函数与面积定值最值问题专题（压轴题专题讲义）

第九讲 函数与面积定值最值问题 （压轴题专题讲义） 内容提要 知识点拓展详解 解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下： 如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式． 如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法． 图1 图2 图3 计算面积长用到的策略还有： 如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等． 如图5，同底三角形的面积比等于高的比． 如图6，同高三角形的面积比等于底的比． 图4 图5 图6 【最新典型例题】 例题1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线yx﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MNON的最小值． 【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式； （2）分两种情况讨论，利用平行线之间的距离相等，可求OP解析式，EP''的解析式，联立方程组可求解； （3）过点M作MF⊥AC，交AB于F，设点M（m，m2m﹣2），则点F（m，m﹣2），可求MF的长，由三角形面积公式可求△MAB的面积＝﹣（m﹣2）2+4，利用二次函数的性质可求点M坐标，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，由直角三角形的性质可得KNON，可得MNON＝MN+KN，则当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MNON有最小值，即最小值为MP，由直角三角形的性质可求解． 【解析】（1）∵直线yx﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴点A（4，0），点B（0，﹣2）， 设抛物线解析式为：y＝a（x+1）（x﹣4）， ∴﹣2＝﹣4a， ∴a， ∴抛物线解析式为：y（x+1）（x﹣4）x2x﹣2； （2）如图1，当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线于点P， ∵OP∥AB， ∴△ABP和△ABO是等底等高的两个三角形， ∴S△PAB＝S△ABO， ∵OP∥AB， ∴直线PO的解析式为yx， 联立方程组可得， 解得：或， ∴点P（2+2，1）或（2﹣2，1）； 当点P''在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP''∥AB，交抛物线于点P''，连接AP''，BP''， ∴AB∥EP''∥OP，OB＝BE， ∴S△AP''B＝S△ABO， ∵EP''∥AB，且过点E（0，﹣4）， ∴直线EP''解析式为yx﹣4， 联立方程组可得， 解得， ∴点P''（2，﹣3）， 综上所述：点P坐标为（2+2，1）或（2﹣2，1）或（2，﹣3）； （3）如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F， 设点M（m，m2m﹣2），则点F（m，m﹣2）， ∴MFm﹣2﹣（m2m﹣2）（m﹣2）2+2， ∴△MAB的面积4×[（m﹣2）2+2]＝﹣（m﹣2）2+4， ∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值， ∴点M（2，﹣3）， 如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q， ∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，∴KNON，∴MNON＝MN+KN， ∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MNON有最小值，即最小值为MP， ∵∠KOB＝30°，∴直线OK解析式为yx，当x＝2时，点Q（2，2）， ∴QM＝23，∵OB∥QM，∴∠PQM＝∠PON＝30°，∴PMQM， ∴MNON的最小值为． 强化同步练习 一．选择题（共4小题） 1．如图，矩形OABC的长OA＝，宽OC＝1，将△AOC沿AC翻折得△APC，可得下列结论：①∠PCB＝30°；②点P的坐标是（）；③若P、C两点在抛物线上，则b的值是，c的值是1；④在③中的抛物线CP段（不包括C、P两点）上，存在一点Q，使四边形QCAP的面积最大，最大值为．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△ADE沿DE翻折，点A落在点F处，tan∠CDE＝．设AB＝x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 3．如图，小明设计了一个电子游戏，一个跳蚤从横坐标为t（t＞0）的P1点开始按点的横坐标依次增