17.1 一元二次方程（讲解课件）-【优翼·学练优】2022-2023学年八年级下册初二数学同步备课（沪科版）

17.1 一元二次方程 第17章 一元二次方程 优翼八下数学教学课件（HK） 复习引入 没有未知数 1. 下列式子哪些是方程？ 2 + 6 = 8 2x + 3 5x + 6 = 22 x + 3y = 8 x - 5＜18 代数式 一元一次方程 二元一次方程 不等式 分式方程 导入新课 2. 什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程属于整式方程. 3. 什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程. 想一想：什么是一元二次方程呢？ 问题1 如图，已知一长方形的长为 200 cm，宽 150 cm. 现在其中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原长方形面积的四分之三. 求挖去的圆的半径 x (cm) 应满足的方程（其中 π 取 3）. 解：依题意知圆的面积约为 3x2 cm2. 整理，得 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 200 cm 150 cm 则有 一元二次方程的概念 新课讲授 问题2 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为 75 万辆，两年后增加到 108 万辆. 求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程. 解：根据题意，得 整理，得 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 问题3 如图，在一块宽 20 m、长 32 m 的长方形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把长方形空地分成大小一样的六块，建成小花坛. 要使花坛的总面积为 570 m2，问小路的宽应为多少？ 32 20 x 1. 若设小路的宽是 x m，则横向小路面积是_____m2，纵向小路的面积是 m2，两者重叠的面积是 m2. 思考： 32x 2×20x 2x2 2. 由于花坛的总面积是 570 m2，你能根据题意列出方程吗？ 整理以上方程，可得 32×20－(32x＋2×20x)＋2x2 = 570. x2－36x＋35 = 0 ③. 32 20 32-2x 20-x 想一想： 还有其它的列法吗？试说明理由. (20－x)(32－2x) = 570. 观察与思考 方程①②③都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 共同特点： （1）都是整式方程； （2）只含一个未知数； （3）未知数的最高次数是 2. x2 - 36x＋35 = 0 ③ 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程. ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0). 其中，ax2 称为二次项，a 称为二次项系数；bx 称为一次项，b 称为一次项系数； c 称为常数项. 知识要点 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 (标准形式) 想一想 为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0， 当 a ≠ 0，b = 0 时 ax2＋c = 0， 当 a ≠ 0，c = 0 时 ax2＋bx = 0， 当 a ≠ 0，b = c =0 时 ax2 = 0， 总结：只要满足 a ≠ 0 即可，b，c 可以为任意实数. 不符合定义； 符合定义； 符合定义； 符合定义． 典例精析 例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理为 x2 - 3x + 2 = 0 少了先决条件 a ≠ 0 提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程，若是则进一步化简整理后再作判断. 例2 a 为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1) ax2－x = 2x2 ； (2) (a－1)x|a|+1－2x－7 = 0. 解：(1) 将方程整理，得 (a - 2)x2 - x = 0，所以当 a - 2 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，原方程是一元二次方程. (2) 由 |a| + 1 = 2，且 a - 1 ≠ 0 知，当 a = -1 时，原方程是一元二次方程. 方法点拨：根据一元二次方程的定义求参数的值时，根据未知数的最高次数等于 2，列出关于参数的方程，再排除使二次项系数等于 0 的参数值即可得解． 例3 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化为一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2 - 3x = 5x + 10. 移项、合并同类项，得该方程的一般形式为 3x2 -