1.4 第2课时 三角形三条内角的平分线（讲解课件）-【优翼·学练优】2022-2023学年八年级下册初二数学同步备课（北师大版）

1.4 角平分线 第一章 三角形的证明 第2课时 三角形三条内角的平分线 优翼八下数学教学课件（BS） 在一个三角形居住区内修有一个学校 P，P 到 AB、BC、CA 三边的距离都相等，请在三角形居住区内标出学校 P 的位置，P 在何处？ A B C 情境引入 导入新课 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线相交于一点. 三角形的内角平分线 新课讲授 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等. 你能证明这个结论吗？ 剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流． 结论：三角形三个角的平分线相交于一点. 怎样证明这个结论呢? 试一试 点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下： 试试看，你能写出证明过程吗？ A B C P F H D E I G AP 是∠BAC 的平分线 BP 是∠ABC 的平分线 PI = PH PG = PI PH = PG 点 P 在∠BCA的平分线上 已知：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. 证明结论 证明：过点 P 分别作边 AB，BC，CA 的垂线段 PD，PE，PF. ∵ BM 是△ABC 的角平分线， 点 P 在 BM 上， ∴ PD = PE. 同理 PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. D E F A B C P N M 想一想：点 P 在∠A 的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 点 P 在∠A 的平分线上. 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. D E F A B C P N M 例1 如图，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°， AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E. (1) 如果 CD = 4 cm，求 AC 的长； E D A B C 解：∵ AD 是△ABC 的角平分线， DE⊥AB，垂足为 E， ∴ DE = CD = 4 cm. ∵ AC = BC，∴∠B =∠BAC. ∵∠C = 90°，∴∠B = 45°. ∴ BE = DE. 在等腰 Rt△BDE 中， (2) 求证：AB＝AC＋CD. 证明：由 (1) 的求解过程易知， Rt△ACD≌Rt△AED (HL). ∴ AC＝AE. ∵ BE＝DE＝CD， ∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD. E D A B C 例2 如图，在直角△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC，若 OM＝4， (1) 求点 O 到△ABC 三边的距离和. M E N A B C P O D 温馨提示：不存在垂线段———构造应用 12 解：连接 OC. (2) 若 △ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积. M E N A B C P O D 例3 如图，在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC 的度数为 (　　) A．110° B．120° C．130° D．140° A 解析：O 到△ABC 三边的距离相等，所以 O 是内心，即三条角平分线的交点，故 BO，CO 都是内角平分线， 则∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB， ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180° － 70°＝110°. 1. 如图，已知 △ABC，求作一点 P，使 P 到∠A 的两边的距离相等，且 PA＝PB．下列确定 P 点的方法正确的是 ( ) A. P 为∠A，∠B 两角平分线的交点 B. P 为∠A 的平分线与 AB 的垂直平分线的交点 C. P 为 AC，AB 两边上的高的交点 D. P 为 AC，AB 两边的垂直平分线的交点 B 【解析】∵ 点 P 到∠A 的两边的距离相等， ∴ P 在∠A 的平分线上. ∵ PA＝PB，∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上. ∴ P 为∠A 的平分线与 AB 的垂直平分线的交点. 当堂练习 2. 如图，