1.4 第1课时 角平分线的性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2022-2023学年八年级下册初二数学同步备课（北师大版）

1.4 角平分线 第一章 三角形的证明 第1课时 角平分线 优翼八下数学教学课件（BS） 情境引入 如图，要在 S 区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处 500 米，这个集贸市场应建在何处？ ( 比例尺为 1︰20000 ) D C S 解：作夹角的角平分线 OC， 截取 OD ＝ 2.5 cm ，D 即为所求. O 导入新课 1. 操作测量：取点 P 的三个不同的位置，分别过点 P 作 PD⊥OA，PE⊥OB，点 D、E 为垂足，测量 PD、PE 的长. 将三次数据填入下表： 2. 观察测量结果，猜想线段 PD 与 PE 的大小关系：____ PD PE 第一次 第二次 第三次 PD=PE C O B A P D E 实验：OC 是∠AOB 的平分线，点 P 是射线 OC 上的任 意一点. 角平分线的性质 新课讲授 验证猜想 已知：如图，∠AOC =∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证：PD = PE. P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO =∠PEO = 90°. 在 △PDO 和 △PEO 中， ∠PDO =∠PEO， ∠AOC =∠BOC， OP = OP， ∴△PDO≌△PEO (AAS). ∴ PD = PE. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： (1) 角的平分线； (2) 点在该平分线上； (3) 垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 知识要点 B A D O P E C 应用格式： ∵ OP 是∠AOB 的平分线， ∴ PD = PE PD⊥OA，PE⊥OB， 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个. (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 判一判：(1) ∵ 如下左图，AD 平分∠BAC (已知)， ∴ ＝_____ ( ). 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C (2) ∵ 如上右图，DC⊥AC，DB⊥AB (已知). ∴ = _____ ( ). 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 例1 已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD， DE⊥AB， DF⊥AC.垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC. A B C D E F 证明：∵ AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°. 在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中， DE = DF， BD = CD， ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL). ∴ EB = FC. 例2 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PD = 4 cm，则 PE = ______cm. B A C P M D E 4 温馨提示：存在两条垂线段———直接应用 变式：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC ＝ 4， AB = 14. (1) 则点 P 到 AB 的距离为______； (2) 求△APB 的面积. A B C P D 4 温馨提示：存在一条垂线段——构造应用 故 AB·PD = 28. 解：由角平分线的性质知 PD = PC = 4， 1. 应用角平分线性质： 存在角平分线 涉及距离问题 2. 联系角平分线性质： 面积 周长 条件 知识与方法 利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解 P A O B C D E 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 思考：交换角平分线的性质定理中的已知和结论，你能得到什么命题？它是真命题吗？ 角平分线的性质： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 思考：这个结论正确吗？ 逆 命 题 角平分线的判定 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 证明： 作射线 OP. 即点 P 在∠AOB 的平分线上. 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， (全等三角形的对应角相等)