1.1 第4课时 等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2022-2023学年八年级下册初二数学同步备课（北师大版）

1.1 等腰三角形 第一章 三角形的证明 第4课时 等边三角形的判定及含 30° 角的 直角三角形的性质 优翼八下数学教学课件（BS） 观察与思考 观察下面图片，说说它们都是由什么图形组成的？ 导入新课 思考：上节课我们学习了等腰三角形的判定定理，那等边三角形又如何判定呢？ 一个三角形满足什么条件就是等边三角形? 由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理： 1. 三个角都相等的三角形是等边三角形； 2. 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形. 你能证明这些结论吗？ 等边三角形的判定 新课讲授 A B C 已知：如图，∠A =∠B =∠C. 求证：AB = AC = BC. ∵∠A =∠ B， ∴ AC = BC. ∵∠B =∠C， ∴ AB = AC. ∴ AB = AC = BC. 证明： 定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形. www.czsx.com.cn 定理2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. A B C 已知：若 AB＝AC，∠A＝60°. 求证：AB＝AC＝BC. 证明：∵ AB = AC，∠A = 60°， ∴∠B =∠C = (180°－∠A) = 60°. ∴∠A =∠B =∠C. ∴ AB = AC = BC. 证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？ www.czsx.com.cn 证明：∵ AB = AC，∠B = 60° (已知)， ∴∠C =∠B = 60° (等边对等角). ∴∠A = 60° (三角形内角和定理). ∴∠A =∠B =∠C = 60°. ∴△ABC 是等边三角形 (三个角都相等的三角形是等 边三角形). 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 60°． 求证：△ABC 是等边三角形． 第二种情况：有一个底角是 60°. A C B 60° 【验证】 www.czsx.com.cn 等腰三角形(含等边三角形) 性质 判定 等边对等角 等角对等边 “三线合一”，即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合 有一角是 60° 的等腰三角形是等边三角形 等边三角形三个内角都相等，且每个角都是 60° 三个角都相等的三角形是等边三角形 归纳总结 例1 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC， 求证：△ADE 是等边三角形. A C B D E 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C. ∵ DE∥BC， ∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C. ∴∠A =∠ADE =∠AED. ∴△ADE 是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 典例精析 变式：上题中，若将条件 DE∥BC 改为 AD＝AE， △ADE 还是等边三角形吗? 试说明理由. A C B D E 已知：如图，在等边三角形 ABC 中，AD ＝ AE. 求证：△ADE 是等边三角形. 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°. ∵ AD＝AE， ∴△ADE 是等腰三角形. ∴△ADE 是等边三角形. 又∵∠A＝60°. 操作：用两个含有 30° 角的三角板， 你能拼成一个怎样的三角形？ 30° 30° 你能说出所拼成的三角形的形状吗？ 猜想：在直角三角形中，30° 角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？ 30° 30° 30° 合作探究 30° 30° 结论：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半. 含30°角的直角三角形的性质 已知：如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 30°. 求证： BC = AB. A 30° B C 分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题 转 化 “线段相等”问题 猜想验证 30° 30° ∵∠ACB＝90°，(已知) ∴∠ACD＝90°. (平角的定义) 在△ABC 与△ADC 中， BC＝DC，(作图) 　∠ACB＝∠ACD，(已证) AC＝AC，(公共边) ∴△ABC≌△ADC (SAS). ∴ AD＝AB. 30° A B C D 证明：延长 BC 至 D，使 CD＝BC，连接 AD. ∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，(已知) ∴∠B＝60°． ∴△ABD 是等边三角形． (有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形) ∴ BC＝ BD ＝ AB．(等式性质) 30° A B C D 定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 几何语言：在△ABC 中， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°． ∴ BC ＝ AB．(在直角三角形中， 30° 角所对的直