1.1 第2课时 等边三角形的性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2022-2023学年八年级下册初二数学同步备课（北师大版）

1.1 等腰三角形 第一章 三角形的证明 第2课时 等边三角形的性质 优翼八下数学教学课件（BS） 在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角架等，它们都是等边三角形. 思考：在上一节课我们证明了等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各角之间有什么关系呢？ 情境引入 导入新课 A C B D E A C B M N A C B P Q 上节课我们证明了等腰三角形的“三线合一”，试猜想等腰三角形的两底角的平分线、两腰上的高、两腰上的中线有什么关系呢？ 猜想：底角的两条平分线相等； 两条腰上的中线相等； 两条腰上的高线相等. 你能证明你的猜想吗？ 等腰三角形的重要线段的性质 新课讲授 如图，在△ABC 中，AB = AC，BD 和 CE 是角平分线． 例1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等． 已知： 求证： BD = CE. 证明猜想 A C B E 1 2 D ∵ AB = AC (已知)， ∴∠ABC =∠ACB (等边对等角). 证明： ∠2 = ∠ACB (已知)， 又∵∠1 = ∠ABC， ∴∠1 =∠2 (等式性质)． 在 △BDC 与 △CEB 中， ∠DCB =∠ EBC (已知)， BC = CB (公共边)， 　∠1 =∠2 (已证)， ∴ △BDC≌△CEB (ASA)． ∴ BD = CE (全等三角形的对应边相等)． A C B E 1 2 D 例2 证明：等腰三角形两腰上的中线相等． BM = CN． 求证： 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，BM，CN 两腰上 的中线． 又∵ CM = AC，BN =　AB， 证明： ∵ AB = AC (已知)，∴∠ABC =∠ACB. 在△BMC 与△CNB 中， ∵ BC = CB，∠MCB =∠NBC，CM = BN， ∴△BMC≌△CNB (SAS)． ∴ BM = CN. A C B M N ∴ CM = BN. 例3 证明： 等腰三角形两腰上的高相等． BP = CQ． 求证： 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，BP，CQ 是 △ABC 两腰上的高． 证明： ∵ AB = AC (已知)，∴∠QBC =∠PCB. 在△BQC 与△CPB 中， ∵∠BQC =∠CPB，∠QBC =∠PCB，BC = CB， ∴△BQC≌△CPB (AAS). ∴ BP = CQ. A C B P Q 还有其他的结论吗? 议一议： 1. 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC. (1) 如果∠ABD = ∠ABC，∠ACE = ∠ACB， 那么 BD = CE 吗？ 为什么？ (2) 如果 ∠ABD = ∠ABC ，∠ACE = ∠ACB 呢？ 如果∠ABD = ∠ABC ， ∠ACE = ∠ACB ， 那么 BD = CE 吗? 分别将等腰三角形底边两端点与腰上某一点相连，如果两条连线与底边所夹的角相等，那么这两条连线段相等. BD = CE BD = CE BD = CE A C B D E 由此你能得到一个什么结论? 2. 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC. (1) 如果 AD = AC，AE = AB， 那么 BD = CE 吗？ 为什么？ A C B D E BD = CE (2) 如果 AD = AC，AE = AB， 那么 BD = CE 吗？ 为什么？ BD = CE A C B D E 由此你能得到一个什么结论? 两腰上和顶点等距的两点到对角顶点的距离相等. 这是由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法. (3) 如果 AD = AC，AE = AB， 那么 BD = CE 吗？ 为什么？ BD = CE 想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？ 定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60°. 可以利用等腰三角形的性质进行证明. 怎样证明这一定理呢？ 等边三角形的性质 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC = BC. 求证：∠A =∠B =∠C = 60°. A C B 证明：在△ABC 中， ∵ AB = AC (已知)， ∴∠B =∠C (等边对等角). 同理∠A =∠B. 又∵∠A +∠B +∠C = 180° (三角形的内角和等于180°)， ∴∠A =∠B =∠C = 60°.