专题17.1 勾股定理-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学下册同步精品讲义（人教版）

专题17.1 勾股定理 1、掌握勾股定理的用途：已知直角三角形的两边求第三边及已知直角三角形的一边，求另外两边的关系； 2、能够运用勾股定理解决简单的实际问题； 3、掌握勾股定理的证明方法，能够熟练地运用勾股定理解决弦图等相关问题； 4、熟练掌握重要的数学思想：方程思想。 知识点01 勾股定理 【知识点】 勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。 注意： 1）仅直角三角形中存在勾股定理（若要使用勾股定理则需要有直角三角形或通过辅助线构造直角三角形）； 2）由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边（斜边）的平方等于两短边（两直角边）的平方和，只有c是斜边时才有a2+b2=c2，切不可死搬硬套公式。 3）利用勾股定理，若无法直接找出其中的两条边，则可设定一条边长为未知数，根据题目已知的条件能表示其他的边（可以是设定的未知数表示，也可以是具体的数字），再建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. 【知识拓展1】勾股定理中的面积问题 例1．（2022·广东湛江·八年级期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E解得即可． 【详解】解：由题意：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E， ∴S正方形A+S正方形B=S正方形D-S正方形C ∵正方形A、B、D的面积依次为6、10、24， ∴24-S正方形C=6+10，∴S正方形C=8．故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【即学即练】 1．（2022·贵州铜仁·八年级期中）如图，以的三边向外作正方形，其面积分别为且，则___________；以的三边向外作等边三角形，其面积分别为，则三者之间的关系为___________． 【答案】     12；     s1+s2=s3 【分析】首先根据正方形面积公式得到三个正方形的面积与Rt△ABC的三边关系，然后根据勾股定理找到Rt△ABC的三边之间的关系，并由此得到三个正方形的面积关系，最后算出S3的值；第二空同理根据正三角形面积公式与勾股定理，得到S1，S2，S3三者之间的关系，完成解答． 【详解】解：∵AC、BC、AB都是正方形的边长，∴S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2， 又∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S3=4+8=12， 又∵Rt△ABC三边向外作等边三角形，其面积为S1，S2，S3， ∴S1==×AC2，同理可得：S2=×BC2，S3=×AB2， ∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S1+S2=S3．故答案是：12，S1+S2=S3． 【点睛】本题考查勾股定理和正方形、正三角形的计算，解题的关键在于灵活运用勾股定理． 2．（2022·广东珠海·八年级期末）如图为直角三角形，斜边，以两条直角边为直径构成两个半圆，则两个半圆的面积之和为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理得出，再根据圆的面积公式表示出，整理解得得出答案． 【详解】解：∵为直角三角形，斜边，∴， ∴故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的内容． 【知识拓展2】勾股树 例2．（2022·河南八年级期末）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出，写出部分的值，根据数的变化找出变化规律“”（n≥3），依此规律即可得出结论． 【详解】解：在图中标上字母，如图所示． ∵正方形的边长为2，为等腰直角三角形， ∴，，∴． 观察，发现规律：，，，S，…， ∴．当时，，故选：A． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题关键是找出规律“”，解决该题目时，写出部分的值，根据数值的变化找出变化规律是关键． 【即学即练】 1．（2022·云南九年级一模）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”： 经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长