5.3.2 导数在函数中的应用-【基础过关系列】2022-2023学年高二数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第二册)

5.3.2 导数在函数中的应用 1 函数单调性与导数 在某个区间内，若 ，则函数在这个区间内单调递增； 若，则函数在这个区间内单调递减． 2函数增长快慢 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”. 3 求函数的极值的方法 解方程，当时： (1) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； (2) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值． 4 函数在上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数在内的极值； (2)将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【题型1】 函数的大致图象 【典题1】 画出函数的大致图象. 【巩固练习】 1.向高为的水瓶中注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系的图象如上图所示，那么水瓶的形状是( ) A． B． C． D． 2.青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一．如图，这是景德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度与时间的函数图象大致是( ) A． B． C． D． 3.画出函数的大致图象. 【题型2】 函数零点个数 【典题1】 若仅有一个零点，求的取值范围. 【典题2】已知函数，． (1)讨论函数的单调性；(2)讨论函数的零点个数． 【巩固练习】 1.已知函数在处的切线与轴平行． (1)求在区间上的最值； (2)若恰有两个零点，且在时恒成立，求实数的取值范围． 2.已知函数，记． (1)当时，求在区间上的最大值； (2)当时，试判断的零点个数． 3.设函数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有两个零点，求正整数的最小值． 【题型3】生活问题应用 【典题1】 如图所示，是边长，的矩形硬纸片，在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形后，再沿虚线折起，做成一个无盖的长方体盒子，、是上被切去的小正方形的两个顶点，设． (1)将长方体盒子体积表示成的函数关系，并求其定义域； (2)当为何值时，此长方体盒子体积最大？并求出最大体积． 【巩固练习】 1.一船在航行中的燃料费与其速度的立方成正比，已知时燃料费是元，而其他与无关的费用是元，问为何值时可使航行每公里所需费用的总和最小？ 2.如图，某景区内有两条道路，，现计划在上选择一点，新建道路，并把所在的区域改造成绿化区域．已知，，．若绿化区域改造成本为万元，新建道路成本为万元． (1)①设，写出该计划所需总费用的表达式，并写出的范围； ②设，写出该计划所需总费用的表达式，并写出的范围； (2)从上面两个函数关系中任选一个，求点在何处时改造计划的总费用最小． 3.如图，一条小河岸边有相距的，两个村庄(村庄视为岸边上，两点)，在小河另一侧有一集镇 (集镇视为点，到岸边的距离为，河宽为，通过测量可知，与的正切值之比为．当地政府为方便村民出行，拟在小河上建一座桥分别为两岸上的点，且垂直河岸，在的左侧)，建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知，两村的人口数分别是人、人，假设一年中每人去集镇的次数均为次．设．(小河河岸视为两条平行直线) (1)记为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用表示； (2)试确定的余弦值，使得最小，从而符合建桥要求． 【A组---基础题】 1.向如图所示的高为的水杯中注水，注满为止，那么注水量与水深的函数关系的图象是( ) A． B． C． D． 2.函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 3.画出函数的大致图象. 4.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为元，并且每件产品需向总公司缴纳元的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为元时，产品一年的销售量为为自然对数的底数)万件．已知每件产品的售价为元时，该产品的一年销售量为万件，经物价部门核定每件产品的售价最低不低于元，最高不超过元． (1)求的值； (2)求分公司经营该产品一年的利润(万元)与每件产品的售价(元的函数关系式； (3)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值． 5.如图：已知某公园的四处景观分别位于等腰梯形的四个顶点处，其中，两地的距离为千米，，两地的距离为千米，．现拟规划在 (不包括端点)路段上增加一个景观，并建造观光路直接通往处，造价为每千米万元，又重新装饰路段，造价为每千米万元． (1)若拟修建观光路路段长为千米，求路段的造价； (2)设，当为何值时，，段的总造价最低． 6.已知函数． (1)当时，求在区间上的最值； (2)若在定义域内有两个零点，求的取值范围． 7.已知函数． (1)若时，求在区间上的最大值与最小值； (2