5.3.2 导数与函数的最值-【基础过关系列】2022-2023学年高二数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第二册)

5.3.2 导数与函数的最值 函数在上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数在内的极值； (2)将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 解释 (1) 极大值不一定是最大值，极小值不一定是最小值. (2) 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 【例】 如下图，可知函数 在区间上的极大值为，；极小值为，；最大值为，最小值为. 【题型1】 求函数的最值 【典题1】 设，函数． (1)求的极值；(2)若，求函数的值域． 【典题2】已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求的单调性； (3)求函数在上的最小值． 【巩固练习】 1.函数的最大值为 (　　) A． B． C． D． 2.已知函数．则函数在区间上的最大值为 　　． 3.已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数上的最小值为，求实数的值． 【题型2】 证明不等式 【典题1】证明：不等式. 【典题2】已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)已知， (其中是自然对数的底数)， 求证: ． 【巩固练习】 1.证明：不等式成立. 2.证明 ，. 3.已知函数． (1)当时，判断在的单调性； (2)设，证明：. 【题型3】 函数的最值综合运用 【典题1】 已知函数，． (1)存在，对任意，有不等式成立，求实数的取值范围； (2)如果存在，使得成立，求满足条件的最大整数． 【巩固练习】 1.已知函数． (1)求的最小值；(2)若对所有都有，求实数的取值范围． 2.己知函数，，． (l)求函数的极值； (2)若对有恒成立，求实数的取值范围． 【A组---基础题】 1.函数在区间上的最小值为( ) A． B． C． D． 2.若函数在区间上的最大值为，则 ( ) A． B． C． D． 3.函数恒成立的一个必要不充分条件是( ) A． B． C． D． 4.函数在区间上的最大值是　 　，最小值是　 　． 5.若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是　 　． 6.已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数在区间的最大值和最小值． 7.已知函数． (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)若对恒成立，求实数的取值范围． 8.已知函数． (1)求证：； (2)求证：对于任意正整数． 9.已知函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)证明：当时，曲线总在曲线的上方． 【B组---提高题】 1.(多选)下列不等式中恒成立的有(　　) A． B． C． D． 2.(多选)设的最大值为则(　　) A．当 B．当 C．当 D．当 3.已知函数，． (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)若，，且，证明：． 【C组---拓展题】 1.已知函数，若上恒成立，则实数的取值范围为　 　． 2.已知，．若有两个极值点，且，求证： (为自然对数的底数)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（北京）股份有限公司1 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3.2 导数与函数的最值 函数在上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数在内的极值； (2)将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 解释 (1) 极大值不一定是最大值，极小值不一定是最小值. (2) 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 【例】 如下图，可知函数 在区间上的极大值为，；极小值为，；最大值为，最小值为. 【题型1】 求函数的最值 【典题1】 设，函数． (1)求的极值；(2)若，求函数的值域． 解析 (1) ，若，则． 当变化时，，变化情况如下表： 极大值 极小值 所以的极大值是，极小值是． (2)因为，由(1)知，， ，，． 则的值域为． 点拨 函数在上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数在内的极值； (2)将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【典题2】已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求的单调性； (3)求函数在上的最小值． 解析 (1)当时，，， 切线的斜率为， 又， 所以切线方程为，即． (2) ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． (3)当时，在上单调递减，所以， 当时，在上单调递增，所以， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 综上所述，． 【巩固练习】 1