第12讲 平行线的证明　　教案　2022—2023学年北师大版数学八年级上册

( 知识要点 )第十二讲：平行线的证明 1．推理与证明 2．定义与命题 3．平行线的判定与性质 4．三角形内角和定理与外角定理 ( 经典例题 ) 【知识点一】 推理与证明 例1 甲乙丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局．已知甲、乙各比赛了4局，丙当了三次裁判，则第二局的输者是 ． 练1 已知两个正数a，b，可按规则扩充为一个新数c在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作． （1）若，，按上述规则操作三次，扩充所得的数是 ； （2）若，经过6次操作后扩充所得的数为（m，n为正整数），则的值为 ． 练2 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在200个小伙子中，如果某人不亚于其他199人，就称他为棒小伙子，那么，200个小伙子中的棒小伙子最多可能有 ． 【知识点二】 定义与命题 例1 在平面直角坐标系中，对于任意两点，，规定运算： （1） ；（2）；（3）当且时，． 有下列四个命题： ①若有A（1，2），B（2，—1），则（3，1），；②若有，则有A=C；③若有，则有A=C；④对任意点A、B、C均成立． 其中正确的命题为 （只填序号）． 练1 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，则以下命题不正确的是 ． ①BC+AD=AB； ②E为CD中点； ③∠AEB=90°； ④； ⑤BC=CE． 练2 已知三条不同的直线a、b、c，它们在同一平面内，下列四个命题：①如果a//b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b//a，c//a，那么b⊥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b//c．其中真命题的是 ．（填写所有真命题的序号） 【知识点三】 平行线的判定与性质 例1 在△ABC中，∠ACB=90°，BD是△ABC的角平分线，P是射线AC上任意一点（不与A、D、C三点重合），过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，交直线BD于E． （1）如图①，当点P在线段AC上时，说明∠PDE=∠PED； （2）作∠CPQ的角平分线交直线AB于点F，则PF与BD有怎样的位置关系？画出图形并说明理由． 练1 如图，已知A、B、C不在同一直线上，顺次连接AB、BC、CA． （1） 如图1，点D在线段BC上，DE//AB交AC于点E，∠EDF=∠A，求证：DF//AC； （2） 如图2，若点D在BC的延长线上，DE//AB交AC的延长线于点E，DF//AC交BA的延长线于点F．问∠EDF与∠BAC有怎样的关系，说明理由． 例2 已知：点A在射线CE上，∠C=∠D． （1） 如图1，若AC//BD，求证：AD//BC； （2） 如图2，若∠BAC=∠BAD，BD⊥BC，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明； （3） 如图3，在（2）的条件下，过点D作DF//BC交射线于点F，当∠DFE=8∠DAE时，求∠BAD的度数． 练2 如图，取一副三角板按图1拼接，固定三角板ADE（含30°），将三角板ABC（含45°）绕点A顺时针方向旋转一个大小为的角（0°≤≤45°），试问： （1） 当∠= 度时，能使图2中的AB//DE； （2） 当旋转到AB与AE重叠时（如图3），则∠= 度； （3） 当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角的所有可能的度数； （4） 当0°＜≤45°时，连接BD（如图4），探求∠DBC+∠CAE+∠BDE的值的大小变化情况，并说明理由． 【知识点四】 三角形内角和定理与外角定理 例1 （1）如图1，直线AB//CD，点P在两平行线之间，写出∠BAP、∠APC、∠DCP满足的数量关系 ； （2）如图2，直线AB与CD相交于点E，点P为∠AEC内一点，AQ平分∠EAP，CQ平分∠ECP，若∠AEC=40°，∠AQC=70°，求∠APC的度数； （3） 如图3，连接AD、CB交于点P，AQ平分∠BAD，CQ平分∠BCD，探究∠ABC、∠AQC、∠ADC满足的关系． 练1 如图，已知△ABC中，∠A=，在图1中∠B、∠C的角平分线交于点，则可计算得；在图2中，设∠B、∠C的两条三等分角线分别对应交于，则 ；请你猜想，当∠B、∠C同时n等分时，（n—1）条等分角线分别对