第02讲 勾股定理（2）— 几何变换　教案　2022—2023学年北师大版数学八年级上册

第二讲：勾股定理（2）—几何变换 ( 知识要点 ) 1．翻折问题 2．旋转问题 ( 经典例题 ) 【知识点一】 翻折问题 例1 如图，把矩形ABCD纸片翻叠，使点B落在点D处，点C落在C′处，折痕EF与BD交于点O，已知AB=16，AD=12，求折痕EF的长。 练1 如图，在长方形ABCD中，CD=6，AD=8；将长方形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，求EF的长。 练2 如图，在正方形ABCD中，过点A引射线AH，交边CD于点H（点H与点D不重合）；通过翻折，使点B落在射线AH上的点G处，折痕AE交BC于E，延长EG交CD于F。 【感知】如图①，当点H与点C重合时，可得FG FD；（不必证明） 【探究】如图②，当点H为边CD上任意一点时，猜想FG与FD的数量关系，并说明理由； 【应用】在图②中，当AB=5，BE=3时，利用探究的结论，求FG的长。 练3 如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH。 （1） 求证：∠APB=∠BPH； （2） 求证：AP+HC=PH； （3） 当AP=1时，求PH的长。 例2 有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm。 （1） 如图1，现将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，且与AB重合，则BD= ； （2） 如图2，若将直角C沿MN折叠，使点C落在AB边的中点H上，点M、N分别在AC、BC上，则与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论。 练1 如图，△ABC是直角三角形，∠CAB=90°，D是斜边BC上的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF。 （1）若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积；（2）求证：。 【知识点二】 旋转问题 旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等。 例1 在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，∠MCN=45°。 （1） 当点M、N在AB上时，求证：； （2） 将∠MCN绕点C旋转，当点M在BA的延长线上时，若不成立，请说明理由。 练1 如图，通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的；下面是一个案例，请补充完整。 ①原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由。 ①思路梳理 ∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合， ∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线。 根据 ，易证△AFG ≌ ，得EF=BE+DF。 ②类比引申 如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°。 若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF。 ③联想拓展 如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在BC上，且∠DAE=45°；猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程。 例2 如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ。 （1） 观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论； （2） 若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由。 练1 如图①，O是等边△ABC内一点，OA=6，OB=8，OC=10，将线段BO绕点B逆时针旋转60°得到线段BO′，连接OO′，AO′，试判断△AOO′的形状； 如图②，点D是以AB为斜边的等腰直角三角形ABC内一点，且BD=1，CD=2，AD=3；（1）求∠BDC的度数；（2）求△ABC的面积。 练2 如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论： ①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④四边形AOBO′的面积为；⑤。其中正确的结论是 （只填正确的序号）。 ( 课后巩固 ) 【一、选择题】 1．若三角形三边长为a，b，c，且满足等式，则此三角形是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 2．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A