第01讲 勾股定理（1）— 计算与证明　教案　2022—2023学年北师大版数学八年级上册

第一讲：勾股定理（1）— 计算与证明 ( 知识要点 ) 1．勾股定理 2．勾股定理及逆定理 3．勾股定理应用及综合 ( 经典例题 ) 【知识点一】 勾股定理 例1 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2017次后形成的图形中所有正方形的面积和是 。 练1 在直线l上依次拜访着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的的面积依次是，则 。 练2 如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足图形个数有哪些？ 练3 如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为，若，求。 例2 已知一个直角三角形的两直角边长为p、q，斜边长为r，且p+q=6，r=5，则此三角形的面积为 。 例3 如图，有一长、宽、高分别为12cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放一根细木条，要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是 。 例4 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠BDA=90°，∠CBE=30°，∠CEB=45°，AE=4EC，BC=2，则BE= ，CD= 。 例5 已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一条直线上，连接BD、BE；以下四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④，其中结论正确的是 。 例6 如图，长方体底面是长为2cm，宽为1cm的长方形，其高为8cm。 （1） 如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请利用侧面展开图计算所用细线最短需要多少？ （2） 如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多少？ 练1 如图，已知圆锥的母线长为10cm，侧面展开图的夹角为90°，如果点C是SA的中点，在C处有蜗牛想吃到的食品，恰好在A处有一只蜗牛，但它又不能直接爬到C处，只能沿圆锥曲面爬行，则蜗牛爬行的最短路程的平方为 。 练2 如图，已知圆柱底面的周长为24cm，圆柱高为5cm，在圆柱的侧面上过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 cm。 练3 如图，一个无盖的长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由A出发，在盒子表面上爬到点G，已知AB=7、BC=5、CG=5，求这只蚂蚁爬行的最短距离 。 【知识点二】 勾股定理及逆定理 例7 已知△ABC的三边a、b、c满足条件，求证：△ABC是直角三角形。 例8 如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。 例9 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h，有下列四种说法：①；③；③以为边的三角形，是直角三角形；④；其中正确的有 （只填正确的序号）。 练1 如图，点P、Q把线段AB分割成线段AP、PQ和BQ，若以AP、PQ、BQ为边的三角形是一个直角三角形，则称点P、Q是线段AB的勾股分割点；已知点P、Q是线段AB的勾股分割点，如果AP=4，PQ=6（PQ＞BQ），那么BQ= 。 【知识点三】 勾股定理应用 例10 如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，在A处有一所中学，AP=160米，拖拉机在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行驶，假设拖拉机行驶时周围100米以内有噪音影响；那么该中学是否会受到噪声影响？已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受到影响的时间为多长？ 练1 在军事上，常用时钟表示方向角（读数对应的时针方向），如正北为12点方向，北偏西30°为11点方向。在一次反恐演习中，甲队员在A处掩护，乙队员从A处沿12点方向以40米/分的速度前进，2分钟后达到B处。这时，甲队员发现在自己的1点方向的C处有恐怖分子，乙队员发现C处位于自己的2点方向（如图）。假设距恐怖分子100米以外为安全位置。 （1） 乙队员是否处于安全位置？为什么？ （2） 因情况不明，甲队员立即发出指令，要求