18.2.2 矩形的判定（第二课时）（教学课件）-【上好课】八年级数学下册同步备课系列（人教版）

18.2 特殊的平行四边形 18.2.2 矩形的判定 第十八章 平行四边形 人教版 八年级下册 1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理．（重点） 2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.(难点) 学习目标 1.矩形的定义： 2.矩形的性质： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等. 工人师傅做铝合金窗框，分下面三个步骤进行： (1)先截出两对符合规格的铝合金窗料，如图①，使AB=CD，EF=GH； (2)摆放成如图②所示的四边形，则这时窗框的形状是___________，根据的数学道理是______________________________________； (3)将直角尺靠窗框的一个角，如图③，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，如图④，说明窗框合格，这时窗框是_____，根据的数学道理是_____________________________________. 平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 矩形 工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形. 你知道其中的道理吗？ 我们知道，矩形的对角线相等.反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 已知：四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD.   求证：四边形ABCD是矩形 证明：∵ 四形边ABCD是平行四边形 ∴ AB=DC，AB∥DC 又 AC=BD，BC=CB ∴ △ABC≌△DCB (SSS) ∴ ∠ABC=∠DCB ∵ AB∥DC ∴ ∠ABC+∠DCB=180° ∴ ∠ABC=90° ∴ 四边形ABCD是矩形 矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形吗？为什么？ 例1.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数． 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ OA=OC= AC，OB=OD= BD 又 OA=OD ∴ AC=BD ∴ 四边形ABCD是矩形 ∴ ∠DAB=90° 又 ∠OAD=50° ∴ ∠OAB=40° 如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=4，求□ABCD的面积. 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AC=2AO，BD=2BO ∵ △OAB是等边三角形 ∴ AO=BO=AB=4 ∴ AC=BD=8 ∴ 四边形ABCD是矩形 ∴ ∠ABC=90° ∴ 在Rt△ABC中，BC= = =4 ∴ S□ABCD=AB×BC=4×4 =16 例2.已知在四边形ABCD中，作AEBC交BD于O点且OB＝OD，交DC于点E，连接BE，∠ABD＝∠EAB，∠DBE＝∠EBC．求证：四边形ABED为矩形． 证明：∵∠ABD＝∠EAB， ∴OA＝OB， ∵AEBC， ∴∠AEB＝∠EBC， ∵∠DBE＝∠EBC， ∴∠AEB＝∠DBE， ∴OE＝OB， ∴OA＝OE， 例2.已知在四边形ABCD中，作AEBC交BD于O点且OB＝OD，交DC于点E，连接BE，∠ABD＝∠EAB，∠DBE＝∠EBC．求证：四边形ABED为矩形． ∵OB＝OD， ∴四边形ABED是平行四边形， ∵OA＝OB，OA＝OE，OB＝OD， ∴OA＝OE＝OB＝OD， ∴AE＝BD， ∴平行四边形ABED为矩形． 如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，AO=BO=CO=DO， ∵ AE=BF=CG=DH， ∴OE=OF=OG=OH， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵EO+OG=FO+OH， 即EG=FH， ∴四边形EFGH是矩形. 前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角.它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？ 已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°， ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形. 矩形的判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB // CD ∴