最值问题 2022-2023学年九年级数学中考复习专题

初三最值问题 2022-2023九年级数学中考复习专题 1．如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，点在轴的负半轴上，且． （1）求抛物线的函数关系式； （2）若是抛物线上且位于直线上方的一动点，求的面积的最大值及此时点的坐标； （3）在线段上是否存在一点，使的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点，在轴上有一动点，，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，过点作于点． （1）求的值和直线的函数表达式； （2）设的周长为，的周长为，若，求的值； （3）如图2，在（2）条件下，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值． 3．如图，，点、分别在边、上，且，，点、分别在边、上，则的最小值是　 　． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线经过点和点，点是第一象限抛物线上的一个动点． （1）求直线和抛物线的表达式； （2）在轴上取点，连接，，当四边形的面积是7时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，当点在抛物线对称轴的右侧时，直线上存在两点，（点在点的上方），且，动点从点出发，沿的路线运动到终点，当点的运动路程最短时，请直接写出此时点的坐标． 5．边长为2的等边的顶点在轴的正半轴上移动，顶点在射线上移动， ，则顶点到原点的最大距离为　 　． 6．如图，边长为3的等边三角形的顶点在轴的正半轴上移动，，顶 点在射线，上随之移动，则线段的最大值为　 　． 7．如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为　　 A． B． C． D．10 8．问题背景：如图1，将绕点逆时针旋转得到，与交于点，可推出结论：． 问题解决：如图2，在中，，，．点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是　 　． 9．背景资料： 在已知所在平面上求一点，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小． 这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”． 如图①，当三个内角均小于时，费马点在内部，此时，此时，的值最小． 解决问题： （1）如图②，等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出　 　； 基本运用： （2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 如图③，中，，，，为上的点，且，判断，，之间的数量关系并证明； 能力提升： （3）如图④，在中，，，，点为的费马点，连接，，，求的值． 10如图，矩形中，，．点是的中点，点是边上的任意一点（不与、重合），沿翻折，点落在处，当的长度最小时，的长度为　 　． 11.如图，正方形中，，点为的中点，点为边上一动点，连接，过点作的垂线交于点，为线段上一点，且，连接，取的中点，连接，则的最小值是　 　． 12．如图，在直角坐标平面中，点坐标为，， ，与轴交于点，那么的值为　 　． 13．已知中，，，，以为斜边 在外作等腰，连接，则的长为　 　． 14．已知，，，要使满足条件的唯一确定，那么边长度的取值范围为　 　． 15．已知是等腰直角三角形，，为平面内的任意一点， 且满足，若是以为腰的等腰三角形，则的度数为　 　． 答案版： 1．如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，点在轴的负半轴上，且． （1）求抛物线的函数关系式； （2）若是抛物线上且位于直线上方的一动点，求的面积的最大值及此时点的坐标； （3）在线段上是否存在一点，使的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1），则点， 抛物线的表达式为：， 即，解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）过点作轴的平行线交于点， 由点、的坐标得，直线的表达式为： 的面积， 当时，的面积的最大，最大值为：，此时点，； （3）过点作，则， 故当、、三点共线时，最小， 直线的倾斜角为，，则， 即， 则点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 故点． 2．如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点，在轴上有一动点，，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，过点作于点． （1）求的值和直线的函数表达式； （2）设的周长为，的周长为，若，求的值； （3）如图2，在（2）条件下，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值． 【解答】解：（1）令，则， ， 或， 抛物线与轴交于点， ， ． ，， 设直线解析式为，则， 解得， 直线解析式为． （2）如图1中， ，， ，， ， ， ， ， ， 抛物线解析式为， ， ， 解得． （3