18.2.1 矩形的性质（第一课时）（教学设计）-【上好课】八年级数学下册同步备课系列（人教版）

人教版初中数学八年级下册 18.2.1 矩形的性质 教学设计 一、教学目标： 1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系. 2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题. 3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用. 二、教学重、难点： 重点：理解并掌握矩形的性质定理及推论，会用矩形的性质定理及推论进行推导证明. 难点：会综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明与计算. 三、教学过程： 复习回顾 平行四边形的定义，及其边，角，对角线都有哪些性质呢？ 定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 两组对边分别平行；即：AD∥BC，AB∥CD 对边相等；即：AB=DC，AD=BC 对角相等；即：∠DAB=∠BCD，∠ABC=∠CDA 对角线互相平分.即：AO=CO，BO=DO 知识精讲 现在来看一个平行四边形，当它的一个内角由锐角变为钝角的过程中，会发生怎样的特殊情况.这时的图形是什么图形呢？ 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形. 【针对练习】下列哪个图形能够反映四边形、平行四边形、矩形的关系的是（ ） 探究：如图，在平行四边形的活动框架上，用橡皮筋做出两条对角线，改变这个平行四边形的形状.随着∠α的变化，两条对角线的长度怎样变化？当∠α变为直角时，平行四边形成为一个矩形，这时它的其它内角是什么样的角？它的两条对角线有什么关系？ 作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，另外，矩形还有以下性质： 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等. 几何符号语言： ∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD 你能证明矩形的这两个性质吗？ 求证：矩形的对角线相等. 已知：如图，四边形ABCD是矩形.求证：AC=BD. 证明：∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ ∠ABC=∠DCB=90° 又∵ AB=DC，BC=CB ∴ △ABC≌△DCB (SAS) ∴ AC=BD 即 矩形的对角线相等 典例解析 例1.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4.求矩形对角线的长. 解：∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ AC与BD相等且互相平分 ∴ OA=OB 又 ∠AOB=60° ∴ △OAB是等边三角形 ∴ OA=AB=4 ∴ AC=BD=2OA=8 【针对练习】一个矩形的一条对角线长为8，两条对角线的一个交角为120°，求这个矩形的边长. 解：∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ AC与BD相等且互相平分 ∴ OA=OB=OC= ×AC=×8=4 ∵ ∠AOD=120°，∴ ∠AOB=60° ∴ △OAB是等边三角形 ∴ AB=OA=4 又 ∠ABC=90° ∴ 在Rt△ABC中，BC=== ∴ 矩形的边长分别是4和 例2.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90°，AO＝AC，BO＝BD，AC＝BD， ∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO. 又∵∠DAE：∠BAE＝3：1， ∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°. ∵AE⊥BD， ∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°， ∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°. 【针对练习】如图，在矩形中，对角线相交于点O，，交于F，垂足为E，求的度数． 解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴． 例3.如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.求证：DF=DC. 证明：连接DE. ∵AD =AE, ∴∠AED =∠ADE. ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,∠C=90°. ∴∠ADE=∠DEC, ∴∠DEC=∠AED. 又∵DF⊥AE, ∴∠DFE=∠C=90°. 又∵DE=DE, ∴△DFE≌△DCE, ∴DF=DC. 例4.如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠2＝∠3. 又由折叠知∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3，∴BE＝DE. 设BE＝DE＝x，则AE＝8－x. ∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2， ∴42＋(8－x)2＝x2， 解得x＝5，即DE＝5. ∴S△BED＝DE·AB＝×5×4＝10. 【针对练习】折叠矩形的一边，使点落在边的点处，若，，求：的长． 解：四边形为矩形， ，， ； 折叠矩形的一边，使点落在边的