2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题 1．如图①，已知抛物线的图象经过点，与轴交于点，其对称轴为直线：，过点作轴交抛物线于点，的角平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点，设其横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若动点在直线下方的抛物线上，连接、，当为何值时，四边形面积最大，并求出其最大值； (3)如图②，是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点使成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．若一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为，二次函数的图象过A，B，C三点，如图（1）． (1)求二次函数的表达式； (2)如图（1），过点C作轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分．求直线的表达式； (3)如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接交于点F，连接，． ①当时，求点P的坐标； ②求m的最大值 3．如图1，抛物线经过点及原点，且经过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，点为轴下方抛物线上一动点，过点作的平行线交直线于点，当时，求出点的坐标； (3)如图2，若经过点的直线与抛物线交于、两点，点在点右边，经过点的两直线、与抛物线均有唯一公共点，且、与轴不平行，试说明点在某条定直线上运动，并求出这条定直线． 4．如图，抛物线（常数）与x辅从左到右的交点为B，A，过线段的中点M作轴，交双曲线于点P，且． (1)求k值： (2)试探寻线段的长与n的关系； (3)当时，求直线与L对称轴之间的距离； (4)把L在直线左侧部分的图象（含与直线的交点）记为G，用表示图象G最高点的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴负半轴交于点，连接，且． (1)求抛物线解析式． (2)点是抛物线上的一点． ①当点在第一象限时，过点作轴交于点，过点作轴交于点，连接，当和相似时，求点的坐标． ②当时，求点的坐标． 6．如图，在直角坐标系中有，为坐标原点，，，将此三角形绕原点顺时针旋转，得到，二次函数的图象刚好经过，，三点． (1)求二次函数的解析式及顶点的坐标； (2)过定点的直线与二次函数图象相交于M，两点． ①若，求的值； ②证明：无论为何值，恒为直角三角形； ③当直线绕着定点旋转时，外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与y轴交于点C． (1)求这个抛物线的表达式； (2)如果点D是抛物线位于第三象限上一点，交x轴于点E，且E为的中点． ①求D点坐标； ②点P在x轴上，如果，求点P的坐标． 8．在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交轴于． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)若为轴上的一动点，且的值最大，则点坐标为______（直接写答案）； (3)如图一，是抛物线上位于直线上方一动点，求四边形面积最大值． (4)如图二，连接，点在线段上（不与重合），作，交线段于点，是否存在这样的点，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 9．已知抛物线的最低点的纵坐标为，它与x轴交于点A和B（点A在原点左侧点B在原点右侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线的一点，与点C关于抛物线对称轴对称，点，n为任意实数，当n变化时，点P在直线l上运动，若点A，D到直线l的距离相等，求k的值； (3)将该抛物线在间的部分记为图象G，将图象G在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为m，最小值为n，若．求t的取值范围． 10．已知抛物线交轴交于和，交轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线上一点，过点作轴，交抛物线于点（点在点的上方），再过点作轴，交直线于点．当的面积取最大值时，求点的坐标； (3)如图2，点为抛物线对称轴l上的一点，点为抛物上的一点，当直线垂直平分时，求出点的坐标． 11．如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，P为直线下方抛物线上的点，当的面积最大时，求出点P的坐标． 12．已知：抛物线交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛物线经过点A，与x轴的另一个交点为，交y轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)P为抛物线的对称轴上一动点，连接，当时，求点P的坐标； (3)M为抛物线上一动点，过点M作直线轴，交抛物线于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段长度的最大值． 13．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数与轴交于点，若点关于轴的对称点在一次函数的图象上． (1)求的值； (2)若一次函数与一次函数交于，且点关于原点的