矩形和菱形进阶 2023年九年级苏科版数学中考专题复习

矩形和菱形进阶 2022-2023苏科版数学中考专题复习 一．选择题 1．如图，矩形的对角线，相交于点，且．过点作于点，则等于　　 A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，对角线、交于点，且，，过点作垂直，交于点，则的值为　　 A． B． C． D． 3．如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点（不与点，重合），作于点，于点，若点是的中点，则的最小值是　　 A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点，点在上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，则满足条件的点有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．下列说法正确的是　　 A．矩形的对角线互相垂直 B．菱形的对角线相等 C．正方形的对角线互相垂直且相等 D．平行四边形的对角线相等 6．如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6，则重叠部分的四边形周长是　　 A． 10 B．15 C．20 D．25 7．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，且，，则的度数为　　 A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，是斜边上一动点，于，于，与相交于点，则的最小值是　　 A．4.8 B．3.6 C．2.4 D．1.2 9．如图，菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连结分别交，于点、，连结，则下列结论：①； ②与全等的三角形共有5个；③；④由点、、、构成的四边形是菱形，其中正确的是　　 A．①④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 10．如图，分别以的斜边，直角边为边向外作等边和，为的中点，，相交于点．连接，若，下列结论：①；②四边形为菱形；③；④．则正确结论的序号是　　 A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④ 二．填空题（共8小题） 11．如图，在中，已知，，，为斜边上一点，以、为边作平行四边形，当　　时，平行四边形为菱形． 12．一个菱形的面积为，它的两条对角线长分别为，，则与之间的函数关系式为　　． 13．（2020•贺州模拟）如图，在线段上取一点，分别以，为边长作菱形和菱形，使点在边上，连接，是的中点，且，则的长是　　． 14．如图，矩形中，，，为的中点，连接、于点，过点作于点，则　　． 15．如图，在矩形中，，，点为边上任意一点，过点作，，垂足分别为、，则　　． 16．如图，矩形中，平分交于点，交于点，交于点，若，且，则　　． 17．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，若锁定，向左推矩形，使点落在轴的点的位置，则点的对应点的坐标为　　． 三．解答题（共4小题） 18．如图所示，在矩形中，，分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 19．如图，在中，，，垂足为，平分，交于点，交于点． （1）若，，求的长； （2）过点作的垂线，垂足为，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 20．如图，过边的中点，作，交于点，过点作，与的延长线交于点，连接，，若平分，于点． （1）求证： ①； ②四边形是矩形； （2）若，求的长． 参考答案与试题解析 一．选择题（共14小题） 1．如图，矩形的对角线，相交于点，且．过点作于点，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】由矩形的性质得，易求，则为等边三角形，由，得出，推出，即可得出结果． 【解答】解：四边形是矩形， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键． 2．如图，在菱形中，对角线、交于点，且，，过点作垂直，交于点，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】利用菱形的性质即可计算得出的长，再根据面积法即可得到的长，最后根据勾股定理进行计算，即可得到的长，进而得出结论． 【解答】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ． 在中，， ， 的值为， 故选：． 【点评】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，关键是掌握菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分． 3．如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点（不与点，重合），作于点，于点，若点是的中点，则的最小值是　　 A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5 【分析】先由勾股定理求出，再证四边形是矩形，得，当时，最短，此时也最小，则最小，然后由三角形面积求出，即可得出答案． 【解答】解：连接，如图所示： ，，， ， ，，， 四边形是矩形， ， 点是的中点， ， 当时，最短， 此时也最小，则最小， 的面积， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点，点在