2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（特殊四边形问题）

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（特殊四边形问题） 1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），直线BC的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)在线段BC上有一动点D，过点D作DE⊥BC交抛物线于点E，过点E作y轴的平行线交BC于点F．求的最大值，以及此时点E的坐标； (3)如图2，将该抛物线沿y轴向下平移5个单位长度，平移后的抛物线与坐标轴的交点分别为，，，在平面内找一点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点的坐标． 2．如图1，二次函数与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，3），． (1)求二次函数解析式； (2)如图2，点P是直线BC上方抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D，PE∥BC交x轴于点E，求PD+BE的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当PD+BE取最大值时，连接PC，将绕原点O顺时针旋转至；将原抛物线沿射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线，点M在新抛物线的对称轴上，点N为平面内任意一点，当以点M，N，，D′为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点N的坐标． 3．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点坐标，抛物线与轴交于点，点为抛物线顶点，对称轴与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)点是下方异于点的抛物线上一动点，若，求此时点的坐标； (3)点是抛物线上一动点，点是平面上一点，若以点、、、为顶点的四边形为矩形，直接写出满足条件的点的横坐标． 4．如图1，抛物线与与轴交于，两点，与轴交于点，作矩形，延长交抛物线于点．已知线段，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作，垂足为．求线段长度的最大值及此时点的坐标； (3)如果点是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其对称轴与抛物线交于点，与轴交于点． (1)求点，，的坐标； (2)点为抛物线对称轴上的一个动点，从点出发，沿直线以每秒2个单位长度的速度运动，过点作轴的平行线，交抛物线于，两点（点在点的左边）．设点的运动时间为． ①当为何值时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形； ②连接，在点运动的过程中，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点为坐标平面内一点，以线段为对角线作菱形，当菱形为正方形时，请直接写出的值． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线ybx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的值最大时，求点P的坐标和的最大值； (3)把抛物线ybx+c沿射线AC方向平移个单位得新抛物线y'，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值； (3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形（要求），直接写出相应的点Q的坐标． 8．如图，抛物线yx2+bx+c过A（4，0），B（2，3）两点，交y轴于点C．动点P从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线CA运动，设运动的时间为t秒． (1)求抛物线yx2+bx+c的表达式； (2)过点P作PQy轴，交抛物线于点Q．当t时，求PQ的长； (3)若在平面内存在一点M，使得以A，B，P，M为顶点的四边形是菱形，求点M的坐标． 9．已知二次函数的图象与轴的交于A、B（1，0）两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，若点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式，并写出的面积取得最大值时点的坐标； (3)是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点的坐标（不写求解过程）． 10．如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过B、C，且与x轴另一交点为A，连接AC． (1)求抛物线的解析式； (2)点E在抛物线上，连接EC，当∠ECB+∠ACO＝