2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（特殊三角形问题）

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（特殊三角形问题） 1．如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，其顶点为，连接与抛物线的对称轴交于点． （1）求抛物线的表达式并写出该抛物线的对称轴； （2）在直线上方的抛物线上找一点，使得的面积最大，求出此时点的坐标； （3）点是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴相交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作轴的垂线，交抛物线于点E，交轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式． （2）连接AE、CE，当△ACE的面积最大时，求点D的坐标． （3）当m为何值时，△CDE是等腰三角形． （4）连接BC，当∠EAD＝∠OCB时，请直接写出此时点D的坐标． 3．如图，平面直角坐标系中，点A、点B在x轴上（点A在点B的左侧），点C在第一象限，满足∠ACB为直角，且恰使△OCA∽△OBC，抛物线y＝ax2-8ax+12a（a＜0）经过A、B、C三点． （1）求线段OB、OC的长； （2）求点C的坐标及该抛物线的函数关系式； （3）在x轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标：若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线与轴交于点，点（点在点左侧），与轴交于点；直线与抛物线交轴于点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是抛物线上的—个动点． （1）___________，__________； （2）当点在第一象限时，求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标； （3）在点的运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧，与轴交于点，其顶点为点，点的坐标为（0，），该抛物线与交于另一点，连接． （1）求点，，的坐标； （2）动点M从点出发，沿抛物线对称轴方向向下以每秒1个单位的速度运动，运动时间为，连接，，当为何值时，为等腰三角形？ （3）在轴下方的抛物线上，是否存在点，使得被平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，已知抛物线y＝a＋bx－3（a）的对称轴为直线x＝1，交x轴于D，且抛物线交x轴于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点C （1）求抛物线的表达式 （2）设点P为第四象限抛物线上的一个动点，求使ΔCPB面积最大的点P的坐标 （3）点Q是对称轴x＝1上的一点，是否存在点Q，使得ΔDCQ是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由 7．如图，抛物线与x轴交于点与点，与y轴交于点，P为第一象限抛物线上的点． （1）求该抛物线的函数解析式． （2）当△PBC的面积最大时，求P点的坐标． （3）在X轴上是否存在点N，使△NBC是等腰三角形，若存在直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在说明理由 8．如图，直线交轴于点，交轴于点B，抛物线的顶点为，且经过点． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）点是抛物线上的点，是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标． 9．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴与轴交于点，点在抛物线上． （1）求直线的解析式； （2）如图1，点是直线下方抛物线上的一点，连接，当的面积最大时，连接，设分别是线段上的点，且，求四边形的面积； （3）如图2，点是线段的中点，将抛物线沿轴正方向平移得到新抛物线，经过点，的顶点为，在新抛物线的对称轴上，是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图（1），抛物线y＝a（x+2）（x－8）（a＜0）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，若△ABC的面积为20． （1）求a的值，并判断△ABC是什么特殊三角形，说明理由； （2）如图（2）将△ABC沿x轴翻折，点C的对称点是点D，若点P是抛物线在第一象限图像上的一个动点，设点P的横坐标为m，连接AP、DP，求当m为何值时，△ADP的面积最大； （3）若点Q是上述抛物线上一点，且满足∠ABQ=2∠ABC，求满足条件的点Q的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，其中，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点为直线下方抛物线上的任意一点，连接，，求面积的最大值； （3）在抛物线对称轴上找一点，使点，，三点构成的图形是直角三角形，求点的坐标． 12．如图，已知抛物线交轴于点，点两点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）在轴上是否