新教材必修一5.4.3 正切函数的性质与图象（第1课时）

第1课时 5.4.3 正切函数的性质与图象 5.4 三角函数的图象和性质 问题导入 问题1：根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为如何研究正切函数的图象与性质？ 问题2：你能用不同的方法研究正切函数吗？ 有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象. 1. 正切函数y=tanx的定义域是什么？ 2. 正切函数是不是周期函数？ 3. 正切函数是奇函数还是偶函数？ 4. 正切函数的单调性怎样？ 5. 正切函数的值域是什么？ 思考： 新课引入 思考1：正切函数y=tanx的定义域是什么？ 思考2：类比研究正弦函数、余弦函数的周期性，试 研究正切函数的周期性？ 首先我们一起分析一下正切函数 y=tanx （其中 且 ） 因为 （其中 且 ） 由此可知：正切函数是周期函数， π是它的一个周期 ，并且π是它的最小正周期 . 新知探索 思考3：类比研究正弦函数、余弦函数的奇偶性，试研究正切函数的奇偶性？ 新知探索 思考3：类比研究正弦函数、余弦函数的奇偶性，试研究正切函数的奇偶性？ 由诱导公式且 可知，正切函数是奇函数 新知探索 思考4：你认为研究正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？ 可以先考察函数的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展 思考5：如何画出函数的图象？ 新知探索 如图，设在直角坐标系中画出角的终边与单位圆的交点过点作轴的垂线，垂足为；过点作轴的垂线与角的终边交于点，则 由此可见，当时，线段的长度就是相应角的正切值.我们可以利用线段画出函数的图象，如图所示. 新知探索 观察下图可知，当时，随着的增大，线段的长度也在增大，而且当趋向于时，的长度趋向于无穷大.相应地，函数的图象从左到右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线 思考6：你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？ 正切函数的图象： x y 0 观察图象能得到正切函数那些主要性质？ （1）定义域： ； （2）值域：R ； 观察：当x从小于 ， 时， 当x从大于 ， ， 。 无对称轴. 新知探索 4.单调性 在 是增函数. 无减区间. 深度学习1： 正切函数在整个定义域内是增函数吗？ 答： 不是. 所以不能说正切函数在整个定义域内是增函数。 深度学习2： 正切函数在每个周期内是增函数吗？ 深度学习2： 正切函数在每个周期内是增函数吗？ 例1 求下列函数的周期： 拓展： 拓展： 例2　求函数　 　　　 的定义域，周期及单调区间. 解：自变量x的取值应满足 所以函数的定义域是： 方法技巧： 1.求正切函数定义域的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数有意义，即. (2)求正切函数)的定义域时，要使“”视为一个“整体”.令解得. 课堂小结：正切函数的性质： 1:定义域: 2:值域： 3:周期性： 周期函数， 为最小正周期 4:奇偶性： 5:单调性： 奇函数 在 是增函数. 6:对称性： 对称中心： 无对称轴. 无减区间. 课后作业 课本P213的练习15题； 设 ，又 ，所以 即 因为 都有 所以，函数的周期为2 由 解得 因此，函数在区间 上单调递增. $