专题08 三角形综合篇-备战2023年中考数学必考考点总结+题型专训（全国通用）

专题07 三角形的综合 知识回顾 1. 角平分线的性质： ①平分角。 ②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。 2. 角平分线的判定： 角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。 3. 角平分线的尺规作图： 具体步骤： ①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。如图①。 ②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。如图②。 ③连接OP，OP即为角的平分线。 4. 垂直平分线的性质： ①垂直且平分线段。 ②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。 5. 垂直平分线的判定： 到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。 6. 垂直平分线的吃规作图： 具体步骤： ①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。如图① ②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。如图② 7. 中位线的性质： 三角形的中位线平行且等于第三边的一半。 8. 等腰三角形的性质： ①等腰三角形的两腰相等。 ②等腰三角形的两底角相等。（简称“等边对等角”） ③等腰三角形底边的中线、高线以及顶角平分线相互重合。（简称底边上三线合一） 9. 等腰三角形的判定： ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个底角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边） ③若一个三角形某一边上存在“三线合一”，则三角形是等腰三角形。 10. 等边三角形的性质： ①等边三角形的三条边都相等，三个角也相等，且三个角都等于60°。 ②等边三角形三条边都存在“三线合一” ③等腰三角形是一个轴对称图形，有三条对称轴。 ④等腰三角形的面积等于（为等腰三角形的边长）。 11. 等腰三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形。 ②三个角都相等（两个角是60°）的三角形是等腰三角形。 ③底和腰相等的等腰三角形是等边三角形。 ④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 12. 直角三角形的性质： ①直角三角形的两锐角互余。 ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 ③含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ④直角三角形的两直角边的成绩等于斜边乘以斜边上的高线。 ⑤直角三角形的勾股定理。 13. 勾股定理的内容： 在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方。若直角三角形的两直角边是，斜边是，则。 14. 勾股定理的逆定理： 若三角形的三条边分别是，且满足，则三角形是直角三角形，且∠C是直角。 15. 特殊三角形三边的比： ①含30°的直角三角形三边的比例为（从小打大）：。 ②45°的等腰直角三角形三边的比例为（从小到大）：。 16. 两点间的距离公式： 若点与点，则线段AB的长度为：。 专题练习 1．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°． （1）求证：CE＝CM． （2）若AB＝4，求线段FC的长． 2．如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形． （1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长． （2）当a＝3时，该小正方形的面积是多少？ 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，点D在AC上，CD＝3，连接DB，AD＝DB，点P是边AC上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作AC的垂线，与AB相交于点Q，连接DQ，设AP＝x，△PDQ与△ABD重叠部分的面积为S． （1）求AC的长； （2）求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． 4．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线． （1）如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　； （2）如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M． ①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； ②连接DM，求∠EMD的度数； ③若DM＝6，ED＝12，求EM的长． 5．【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、 例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积， 则S△ABC＝BC•AD，S△A'B'C′＝B′C′•A′D′， ∵AD＝A′D