专题07 锐角三角函数综合篇-备战2023年中考数学必考考点总结+题型专训（全国通用）

专题09 锐角三角函数综合 知识回顾 1. 锐角三角函数的定义： 在Rt△ABC中，∠C=90°． ①正弦：我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A． 即sin A＝∠A的对边除以斜边＝。 ②余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cos A． 即cos A＝∠A的邻边除以斜边＝。 ③正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A． 即tan A＝∠A的对边除以∠A的邻边＝。 特殊角 30° 45° 60° 1 2. 特殊角的锐角三角函数值计算 3. 直角三角形的性质 ①直角三角形的两锐角互余。 ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 ③含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ④直角三角形的两直角边的成绩等于斜边乘以斜边上的高线。 ⑤直角三角形的勾股定理。 4. 解直角三角形： 利用直角三角形角的关系，边的关系以及边角关系求解直角三角形。 5. 解直角三角形的坡度文问题： 坡角：坡面与水平面的夹角。 坡度（坡比）：坡面的铅直高度和水平宽度的比。一般用i表示，常写成i=1：m的形式。等于坡角的正切值。 在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题。 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等。 6. 解直角三角形的仰角俯角问题： 仰角：向上看的视线与水平线的夹角。 俯角：向下看的视线与水平线的夹角。 解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决。 7. 解直角三角形的方向角问题： 在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角。 一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数。 专题练习 1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若，则tan∠BCF的值为 　 　． 2．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED＝BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形； （2）若AC平分∠FAE，AC＝8，tan∠DAC＝，求四边形AFCE的面积． 3．如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60） 4．胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73） 5．菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73） 6．旗杆及升旗台的剖面如图所示，MN、CD为水平线，旗杆AB⊥CD于点B．某一时刻，旗杆AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD＝1.2m，DE＝1.4m．同一时刻，测得竖直立在坡面DN上的1m高的标杆影长为0.25m（标杆影子在坡面DN上），此时光线AE与水平线的夹角为80.5°，求旗杆AB的高度． （参考数据：sin80.5°≈0.98，cos80.5°≈0.17，tan80.5°≈6） 7．为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°． （1）求该